湖南省长沙市周南中学2024届高三数学冲刺训练卷（2） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数且，若为纯虚数，则( ) A. B. C. D. 2.函数的定义域是( ) A. B. C. D. 3.已知的面积等于2，，当三条高的乘积取最大值时，的值为( ) A. B. C. D. 4.在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为；当是原点时，定义的“伴随点”为它自身；平面曲线C上所有点的“伴随点”构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”，则下列命题： ①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A； ②圆心在原点的单位圆的“伴随曲线”是它自身； ③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”关于y轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 真命题的序号是( ) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 5.已知等比数列的公比为3，，前n项和，则( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡壔ǎ，周四丈八尺，高一丈-尺，文积几何？意思是：今有圆柱形土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是立方尺．取，1丈尺( ) A. 2112 B. 2111 C. 4224 D. 4222 7.甲、乙两人进行三打二胜制乒乓球赛，已知每局甲取胜的概率为，乙取胜的概率为，那么最终甲胜乙的概率为( ) A. B. C. D. 8.已知函数有两个不相同的零点，则a的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有( ) A. B. 为函数的一个对称中心点 C. 为函数的一个递增区间 D. 可将函数向右平移个单位得到 10.已知动点P在圆上，点、，则( ) A. 点P到直线AB的距离小于6 B. 点P到直线AB的距离大于2 C. 当最小时， D. 当最大时， 11.如图，在棱长为2的正方体中，P，Q分别为棱BC，的中点，则以下四个结论中正确的是( ) A. B. 平面 C. 平面DPQ D. 点Q到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，则x的取值范围为_____. 13.已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为P，若，则双曲线的离心率为_____. 14.在等比数列中，，则的值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知函数 设，若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围； 求的单调区间. 16.本小题15分 如图，矩形ABCD是一个观光区的平面示意图，建立平面直角坐标系，使顶点A在坐标原点O处，B，D分别在x轴，y轴上，百米，百米观光区中间叶形阴影部分MN是一个人工湖，它的左下方边缘曲线是函数的图象的一段．为了便于游客观光，拟在观光区铺设一条穿越该观光区的直路宽度不计，要求其与人工湖左下方边缘曲线段相切切点记为，并把该观光区分为两部分，且直线l左下部分建设为花圃．设点P到的AD距离为t，表示花圃的面积． 求花圃面积的表达式； 求的最小值． 17.本小题15分 如图，已知圆锥，AB是底面圆O的直径，且长为4，C是圆O上异于A，B的一点，，，取AC的中点M，连接PM，OM， 求证：平面PMO； 求二面角的余弦值. 18.本小题17分 已知椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，直线l与C交于A，B两点，点A在第一象限，点B在第四象限且满足直线OA与直线OB的斜率之积为当l垂直于x轴时， 求C的方程; 若点P为C的左顶点且满足，直线PA与OB交于，直线PB与OA交于 ①证明：为定值; ②证明：四边形的面积是面积的2倍. 19.本小题17分 已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球小球除颜色不同，其余完全相同，某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中 ... ...
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