中小学教育资源及组卷应用平台 5.2 解三角形大题篇 考向1 边角互换 一．正余弦定理与边角互换 1．边换角解题步骤 ①正弦定理把边化为角； ②利用消去一个元，和差公式展开重新合并式子； ③利用辅助角公式化成的形式； ④解出特殊值的方程. （注意诱导公式和角度范围的使用） 2．角换边解题步骤（一般是出现的形式） ①正弦定理把边角换边； ②利用余弦定理进行式子的对比求出角度值； 题型1 边化角 【例1】（2020 浙江）在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知． （Ⅰ）求角的大小； 【例2】中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； 跟踪训练 【训练1】的内角，，的对边分别为，，，，． （1）求角； 【训练2】在中，，，分别是角，，的对边，且． （1）求角； 题型2 角化边 【例1】（2022 乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）证明：； 【例2】（2019 新课标Ⅰ）的内角，，的对边分别为，，．设． （1）求； 跟踪训练 【训练3】（2022 乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，求； （2）证明：． 【训练4】在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； 【解题总结】 考向2 范围类问题 二．解三角形中的范围问题 1．有界性求 或者 类型 证明: 注意: , 当 时, , 注意:求 的方法如法炮制. 2．基本不等式求（或者）的最值类型 （为常数） 注意:①求锐角三角形的取值范围问题不适合使用基本不等式的方法；②注意取等条件；③配合三角形的三边关系一起使用. 3．邻补角余弦值为类型 如图，中，和互为补角，则有： 4．定比分点向量法 （1）如图，中，若点在边上，满足，则有：. （2）构造三角形用万能辅助角，如图，若点在边上，满足，，则延长至,使，连接，易知∥，且，则关于来解决求最大值，或者求值问题；由于，根据万能辅助角公式可得： 等面积法处理角平分线 如图，在中，是角平分线，则一定有： 题型1 利用正弦定理及三角函数有界性求解 【例1】（2020 浙江）在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的取值范围． 【例2】中，角，，所对边分别是，，，，． （Ⅰ）求角及边； （Ⅱ）求的最大值． 【例3】在中，内角，，所对的边分别为，，，若． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 跟踪训练 【训练1】设的内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若是锐角三角形，求的取值范围． 【训练2】已知的内角，，的对边分别为，，，，且． （1）求的大小； （2）若的平分线交于点，且，求的取值范围， 【训练3】的内角，，的对边分别为，，，且． （1）证明：； （2）若，且为锐角三角形，求面积的取值范围． 题型2 利用余弦定理及基本不等式求解 【例1】（2020 新课标Ⅱ）中，． （1）求； （2）若，求周长的最大值． 【例2】在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，于点，求线段长度的最大值． 跟踪训练 【训练4】已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）设为定值，若周长的最大值为，求的外接圆半径． 【训练5】在中，内角，，的对边分别为，，角的平分线交于，，． （1）若，求的值； （2）求面积的最小值． 题型3 两角互补余弦法 【例1】（2021 新高考Ⅰ）记的内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，． （1）证明：； （2）若，求． 跟踪训练 【训练6】已知的内角，，的对边分别为，，，是边上一点，，，，且． （1）若，证明：； （2）在（1）的条件下，且，求的值． 题型4 定比分点向量法 【例1】（2023 新高考Ⅱ）记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且． （1）若，求； （2）若，求，． 【例2】在中，内角，，的对边分别为， ... ...
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