2025年新高考一轮复习资料 6.2 数量积 学案+练习（无答案，pdf+word版）

中小学教育资源及组卷应用平台 6.2 数量积 考向1 利用内积公式求解问题 题型1 求模长、夹角和内积 1．基底的定义 如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，，使得．我们把不共线的向量、叫做表示这个平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的直角坐标运算 特殊基底的应用:非0基底向量垂直时，可利用平面直角坐标系坐标化解题，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴正方向相同的两个单位向量，作为基底，对平面内任一向量，有且仅有一个实数对，使得，则实数对叫做向量的坐标，记作，其中，分别叫做在轴、轴上的坐标，相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量． ①已知点，，则， ②已知，，则，， 3．数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 4．数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) 【例1】（2023 北京）已知向量，满足，，则　　 A． B． C．0 D．1 【例2】（2020 新课标Ⅲ）已知向量，满足，，，则，　　 A． B． C． D． 【例3】（2022 乙卷）已知向量，满足，，，则　　 A． B． C．1 D．2 【例4】（2023 上海）已知向量，，则　 　． 跟踪训练 【训练1】（2022 乙卷）已知向量，，则　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【训练2】（2019 新课标Ⅲ）已知向量，，则，　 　． 【训练3】（2018 新课标Ⅱ）已知向量，满足，，则　　 A．4 B．3 C．2 D．0 【训练4】已知向量，，则　　 A． B． C．3 D．5 【解题总结】 题型2 利用投影法求范围 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0． 　　　　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． 【例1】（2020 山东）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【例2】如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 跟踪训练 【训练5】已知是腰长为2的等腰直角斜边上的动点，则的取值范围是　　 A． B． C．， D．， 【训练6】已知在直角三角形中，，以斜边的中点为圆心，为直径，在点的另一侧作半圆弧，为半圆弧上的动点，则的取值范围为　　 A． B．， C． D． 考向2 利用坐标转换求解问题 题型1 利用向量平行垂直关系求解 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， 【例1】（2018 新课标Ⅲ）已知向量，，．若，则　　． 【例2】已知向量，满足，，且，则与的夹角的余弦值为　　 A． B． C． D． 跟踪训练 【训练1】已知向量，，若，则　　 A． B．3 C． D．2 【训练2】已知，且，则　　 A． B． C． D． 【解题总结】 题型2 特殊几何图形与建系法求解 1．常见特殊几何图形的建系处理 边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形 平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆 对于向量中的特殊几何图形的数量积问题，我们可以参考以上图形的建系方法来转换成坐标运算降低思维难度，注意向量的代数问题也可以设坐标来表示，从而转化为函数或者不等式去求取值范围. 【例1】（2022 北京）在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【例2】如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为4，设、分别为线段、上的动点，且，，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【例3】已知点，点， ... ...