2025年新高考一轮复习资料 8.2等差数列 学案+练习（无答案，pdf+word版）

中小学教育资源及组卷应用平台 第2节 等差数列 考向一 等差数列的概念及通项 知识点一　等差数列的概念 1．定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，即或者（），那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零． 2．递推公式形式的定义：（且）或者． 知识点二　等差中项的概念 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b． ①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数，任意两实数a，b的等差中项存在且唯一； ②三个数,,成等差数列的充要条件是． 知识点三　等差数列的通项公式 1．首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d． 知识点四　从函数观点看等差数列———等差数列与一次函数 由等差数列的通项公式，可得． 当时，是的一次函数，一次项系数是等差数列的公差，它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （1）当时数列为递增数列；（2）当时数列为递减数列；（3）当时，，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点． 从图象上看（如下图），表示数列的各点，即点，均匀分布在一条直线上． 知识点五　等差数列通项公式的变形及推广 1．公式变形 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①d＝(m，n∈N*，且m≠n)，可用来由等差数列任两项求公差． ②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1． 证明：∵，，∴，∴． 由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式可以看成是时的特殊情况． ③，已知首项，末项，公差即可计算出项数． 2．基本量法 （1）等差数列可以由首项a1和公差d确定，我们把a1和d称为基本量，所有关于等差数列的计算和证明，都可围绕a1和d进行．在基本量法中，不拘泥于，有可直接用． 解题时没有思路了，可以回归基本量法． （2）求等差数列的通项公式的两种思路： ①设出基本量，，利用条件构建方程组，通过加减消元法或代入消元法求出，，即可写出等差数列的通项公式； ②已知等差数列中的两项时，则可不必求而直接写出等差数列的通项公式． ③设项技巧———对称设项 （i）三个数成等差数列可设为：，，或，，； （ii）四个数成等差数列可设为：，，，或，，，． 【例1】（2020 上海）已知数列是公差不为零的等差数列，且，则　　． 【例2】设，，分别是内角，，的对边，若依次成公差不为0的等差数列，则　　 A．，，依次成等差数列 B．，，依次成等差数列 C．依次成等差数列 D．依次成等差数列 【例3】(2022 新II卷)图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图． 其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0．1的等差数列， 且直线的斜率为0．725，则(　　) A．0．75 B．0．8 C．0．85 D．0．9 【例4】函数图像上存在不同的三点到原点的距离构成等差数列，则以下不可能成为公差的数是　　 A． B． C．1 D． 【例5】(2023 乙卷)已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ） A．－1 B． C．0 D． 跟踪训练 【训练1】（2018 北京）设是等差数列，且，，则的通项公式为　 　． 【训练2】在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28．5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为　 ... ...