2025年新高考一轮复习资料 8.5数列求和 学案+练习（无答案，pdf+word版）

中小学教育资源及组卷应用平台 数列第5节 数列前项和 考向一 公式法 1．等差数列求和公式：． 特别地，当项数为奇数时，，即前项和等于项数乘以中间项， 用此公式可以简化运算． 2．等比数列求和公式： （1），； （2），，特别要注意对公比的讨论． 3．常用公式 （1）平方和公式：； （2）立方和公式：． 4．如果一个数列通过适当分组可写成的形式，而数列，可利用公式求和或可转化为能够求和的数列，进而分别求和，再将其合并从而得出原数列的和． 【例1】己知等差数列中，，公差；等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． 求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【训练1】已知数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和． 考向二 奇偶讨论、并项分类 题型一 常规四大：类型： 1.常见模型 ①通项含或或或型； ②型； ③型； ④． 2．解题策略：①并项求和：将与并项，把看作一个整体； ②分组求和． 3．注意事项： ①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”． ②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇．若通项公式确定，则求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项；若通项公式不确定，则按照求偶的方式求奇即可； ③并项后要注意新数列的项数． 【例1】已知，数列的前项和为，求数列的前项和. 【例2】已知数列满足，． 若为等差数列，求； （2）若，求． 【例3】数列中，，为数列的前项和，求． 【例4】记为数列的前项和，若，，且，则的值为 ． A．5050 B．2600 C．2550 D．2450 【例5】已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)，求数列的前项和； 【例6】已知为数列的前项和，且． （1）求证：数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和． 跟踪训练 【训练1】已知，设，求数列的前项和． 【训练2】已知数列的前项和为，，，则 ． 【训练3】（2021 新高考I卷）已知数列满足，． （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前项和． 【训练4】已知等差数列的首项为1，公差为2．正项数列的前项和为，且． (1)求数列和数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和． 【训练5】（2023 新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，． （1）求的通项公式； （2）证明：当时，． 题型二 非常规找规律型 1．隔四项出规律的递推数列———形如型 定理：若数列满足，为其前项和，则数列是以为首项，为公差的等差数列． 证明：， 同理． 故数列是以为首项，为公差的等差数列，此类型题可以求出通项，但花的时间太多，显然每项为一个整体操作更简单．一些数列含有周期性，需要列举几项，先发现规律后再简化要简单得多． 【例1】已知数列满足，，则数列的前项的和为（ ） A．0 B．1010 C．2020 D．2024 【训练1】（2012 全国新课标文）数列满足，求前项和． 2．二阶等差数列的求和公式 在数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列， 即成为一个等差数列，则称数列为二阶等差数列． 记，，其通项公式为； 二阶等差数列的前项和公式为． 【例2】（2020 新课标Ⅰ文）数列满足，前项和为，则 ． 【训练2】南宋数学家在《详解九章算法》和《算术通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，例如：3，4，6，9，13，为二阶等差数列．现有数列，其前7项分别为1，3，13，31，57，91，133，则该数列的前20项和为 ．（参考公式： 考向三 倒序相加法 1．等差数列的前项和公式即是用此法推导的，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到个． 2．如果一个数列，与首末两端等“距离”的两项的和相等 ... ...