中小学教育资源及组卷应用平台 9.4 调和点列与极点极线论 考向1 单比与交比 一．单比的概念及性质 1.单比的定义 如果共线三点满足,则称为共线三点的单比，也可以表示为P分为。其中称为基点,称为分点。 对单比的概念我们需要理解以下几点: ⑴单比的定义是有顺序的,共线三点的顺序不可随意调整，; ⑵当位于线段之间时,，否则,当位于线段之外时，，为线段中点时； ⑶如果为定点,也给定,则点的位置唯一确定; ⑷在平面直角坐标系中,,由向量坐标运算,得出定比分点公式： ⑸所谓共线三点的单比,即为定比分点中的定比。 最早出现定比分点高考题是在2006年山东高考卷，由于年代久远，所以我们就用同类型题来解读。 2.为定值的参数同构与点差法 当圆锥曲线上两点作为定比分点，线段两个端点分别位于焦点和另一条坐标轴上时，这里会涉及一个为定值的问题，我们介绍参数同构法，点差思想来处理． 【例1】已知焦点在轴上，离心率为的椭圆的一个顶点是拋物线的焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点，且， (1)求椭圆的方程; (2)证明:为定值. 【例2】已知椭圆的离心率，短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）已知经过定点的直线与椭圆相交于，两点，且与直线相交于点，如果，，那么是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由． 二．单比与交比 1.单比角元形式 两条直线的有向角满足下面几个性质: (1).如果直线逆时针旋转到直线,则为正角;如果直线顺时针旋转到直线,则为负角; (2).. 如下图,分别连接共线三点与其所在直线外一点,记所形成的直线分别为,若,则. 2、交比的概念及性质 点列的交比:如果共线四点满足,则称为共线四点的交比,记为。其中称为基点偶(对),称为分点偶(对)。 点列交比的角元形式：如下图,分别连接共线四点与其所在直线外一点,记所形成的直线分别为,则 从交比的角元形式可以看出,交比的值只与直线的有向角有关系,与线段长度没有关系。于是我们很容易据此得到交比的射影不变性。 3.交比的射影不变性 交比的射影不变性：如图所示,过点引四条相交直线,分别与另外两条直线交于和,则 交比的射影不变性,是交比的角元形式的直接推论，交比的射影不变性表明，交比经中心射影后不变。 关于交比射影不变性的斜率公式，我们会在后面章节进行解读，交比射影不变性的推论，结合调和点列，基本上可以打通高考. 【例3】射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点，，，经过中心投影之后的投影点分别为，，，．对于四个有序点，，，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作． （1）证明：； （2）已知，点为线段的中点，，求． 【例4】交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设，，，是直线上互异且非无穷远的四点，则称（分式中各项均为有向线段长度，例如为，，，四点的交比，记为，；，． （1）证明：； （2）若，，，为平面上过定点且互异的四条直线，，为不过点且互异的两条直线，与，，，的交点分别为，，，，与，，，的交点分别为，，，，证明：，；，，；，； （3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若与△的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则与△对应边的交点在一条直线上． 三．调和点列与定比点差 1．调和点列的概念 如下图①，点在线段上，则满足的点是唯一存在的．但是，如果将线段改为直线，此时，满足的点有两个，如下图②，不妨记另一个点为，则，在此种情况下，我们称点、、、为调和点列，或者称点、调和分割点、．按照交比的调和比解释，就是 图① 图② 特别的，当时，即点为的中点，则为无穷远点． 2．调和点列的性质 如下图所示：对于线段的内分点和外分点满足、调和分割线段，即，设为线段的中点，则有以下结论 ... ...
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