8.4三元一次方程组 知识梳理练（含解析） 2023-2024学年数学七年级下册人教版

8.4 三元一次方程组（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】三元一次方程及三元一次方程组的概念 1．三元一次方程的定义 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程． 2．三元一次方程组的定义 一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组． 【知识点二】三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的一般步骤 （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“｛”合写在一起． 【知识点三】三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤 1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x，y，z）表示题目中的两个（或三个）未知数； 2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系； 3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； 4．解这个方程组，求出未知数的值； 5．写出答案（包括单位名称）． 特别提醒： （1）解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． （3）一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 【考点目录】 【考点1】解三元一次方程组； 【考点2】三元一次方程组的特殊解法； 【考点3】三元一次方程组的应用． 【考点1】解三元一次方程组； 【例1】（22-23七年级下·全国·课时练习） 1．解下列三元一次方程组： (1) (2) 【变式1】（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习） 2．下列四组数值中，是方程组的解的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习） 3．将三元一次方程组消去未知数z，得到的二元一次方程组为 ． 【考点2】三元一次方程组的特殊解法； 【例2】（23-24九年级上·长沙·阶段练习） 4．已知，，为正数，且，求的值． 【变式1】（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习） 5．设，则（ ） A．12 B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·全国·随堂练习） 6．若是三元一次方程组的解，则的值是 ． 【考点3】三元一次方程组的应用； 【例3】（22-23七年级下·四川遂宁·阶段练习） 7．关于x的代数式，当时，其值为；当时，其值为3；当时，其值为35； (1)求a，b，c的值 (2)当时，求代数式的值． 【变式1】（23-24七年级上·浙江舟山·期末） 8．已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为（ ） A．15 B．19 C．21 D．23 【变式2】（22-23七年级下·福建泉州·期末） 9．已知满足，则 ． 【例4】（23-24八年级上·山东枣庄·期末） 10．【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 【变式1】（2024八年级·全国·竞赛） 11．有3堆硬币，每枚硬币的面值相同．小李从 ... ...