6.3.3 平面向量数乘运算的坐标表示 学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

6．3.3　平面向量数乘运算的坐标表示 1. 会用坐标表示平面向量的数乘运算． 2. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 活动一 平面向量的数乘运算 思考1 已知a＝(x，y)，你能得出λa的坐标吗？ 例1　已知a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求3a＋4b的坐标． 活动二 掌握向量共线的坐标表示 思考2 在平面直角坐标系中作出向量a＝(1，－4)与b＝(－2，8). (1) 观察它们是否共线？ (2) 观察它们的坐标间满足什么关系？ (3) 由此可以得到什么结论？能再举一些例子吗？ 思考3 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，x1，y1不同时为零，如果a∥b，那么相应向量的坐标有什么关系？如果它们的坐标满足上述关系，那么向量a，b共线吗？ 　　 活动三 掌握向量共线的坐标表示的应用 例2　已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，当实数k为何值时，向量ka－b与a＋3b共线？并确定此时它们是同向还是反向． 根据两个向量共线的充要条件x1y2－x2y1＝0去解决问题，其中(x1，y1)，(x2，y2)分别表示两个向量的坐标． 已知a＝(1，2)，b＝(x，1)，若a＋2b与2a－b共线，则x的值为_____． 例3　已知点O，A，B，C的坐标分别为(0，0)，(3，4)，(－1，2)，(1，1)，是否存在常数t，使得＋t＝成立？解释你所得结论的几何意义． 向量a＝(x1，y1)(a≠0)与b＝(x2，y2)共线，可以表示为x1y2－x2y1＝0，也可以表示为b＝λa. 已知向量a＝(－3，2)，b＝(2，1)，c＝(3，－1)，t∈R.若a－tb＝kc，求t的值． 例4　已知点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x). (1) 求实数x的值，使向量与共线； (2) 当向量与共线时，点A，B，C，D是否在同一条直线上？ 已知点A(0，－2)，B(2，2)，C(3，4)，求证：A，B，C三点共线． 例5　设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标． 如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).当P是线段P1P2上的一点，且＝λ时，求点P的坐标． 1. (2023南昌高一联考)已知平面向量a＝(－2，3)，b＝(x，－3)，若(b－a)∥b，则x的值为(　　) A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 2. (2023綦江高一期中)已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，若(ka＋b)∥(a－3b)，则k的值是(　　) A. 1 B. C. － D. －1 3. (多选)已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b的坐标可能是(　　) A. (4，8) B. (4，－8) C. (－4，－8) D. (－4，8) 4. 已知平行四边形ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x＝_____. 5. 平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1). (1) 若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值； (2) 若d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)，且(d＋c)∥(a－b)，求d的坐标． 【答案解析】 6．3.3　平面向量数乘运算的坐标表示 【活动方案】 思考1：λa＝(λx，λy). 例1　3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4)＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19). 思考2：作图略． (1) a，b共线．　(2) 1×8－(－4)×(－2)＝0. (3) 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，若x1y2－x2y1＝0，则a∥b.举例略． 思考3：x1y2－x2y1＝0，共线．　 例2　由题意，得ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7，3)， 所以3k－6＝－7，解得k＝－， 此时ka－b＝－(a＋3b)，它们是反向的． 跟踪训练　　解析：由题意，得a＋2b＝(1＋2x，4)，2a－b＝(2－x，3)，则3(1＋2x)－4(2－x)＝0，解得x＝. 例3　t＝(－t，2t)＝－＝(－2，－3)，t无解，所以不存在常数t，使得＋t＝成立． 几何意义：与不共线． 跟踪训练　a－tb＝(－3－2t，2－t)，c＝(3，－1). 因为a－tb＝kc，所以a－tb与c共线， 所以(－3－2t)×(－1)＝3(2－t)， 解得t＝. 例4　(1) 因为＝(x，1)，＝(4，x)， 所以x2－4＝0，解得x＝±2. (2) ＝(2－2x，x－1). ①当x＝2时，＝(2，1)，＝(－2，1)， 所以A，B，C ... ...