8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

8．3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 1. 了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式． 2. 能用公式解决简单的实际问题． 活动一 圆柱、圆锥、圆台的表面积 思考1 圆柱OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？ 思考2 圆锥SO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？ 思考3 圆台OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？ 名称 图形 表面积公式 旋转体 圆柱 S圆柱＝2πr(r＋l) 圆锥 S圆锥＝πr(r＋l) 圆台 S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 思考4 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ 例1　若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为_____cm2，表面积为_____cm2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图，是求其侧面积的基本依据． 圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为(　　) A. 81π　 B. 100π C. 168π D. 169π 活动二　圆柱、圆锥、圆台的体积　 1. 圆柱、圆锥、圆台的体积 我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，即 V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)，V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高). 由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式 V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高). 思考5 圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？ V柱体＝Sh(S为底面积，h为柱体高)； V锥体＝Sh(S为底面积，h为锥体高)； V台体＝(S′＋＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体高). 当S′＝S时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当S′＝0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式． 例2　有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重6kg.已知毛坯底面正六边形的边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm.那么这堆毛坯约有多少个？(铁的密度是7.8g/cm3) 　　 柱、锥、台的体积中，解决高的问题是关键． 用一张长12cm，宽8cm的矩形纸片围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积． 活动三　球的表面积和体积　 2. 球的表面积公式：S＝4πR2(R为球的半径). 例3　如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3 m，圆柱高0.6 m，如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5 kg涂料，那么给1 000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(π取3.14) 思考6 在小学，我们学习了圆的面积公式，你记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积吗？ 3. 球体截面的特点： 球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆． 例4　如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比． 利用球的表面积与体积公式去计算． 已知平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　 ) A. π　　　　　B. 4π C. 4π　 D. 6π 拓展： 1. 正方体的内切球． 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面，如图1. 图1 2. 球与正方体的各条棱相切． 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面，有r2＝a，如图2. 图2 3. 长方体的外接球． 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径．若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面，有球的半径为r3＝，如图3. 图3 4. 正方体的外接球． 正方体棱长a与外接 ... ...