数学归纳法 学案

数学归纳法 【考纲解读】 理解数学归纳法的定义，理解并掌握数学归纳法的基本原理，能够运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 【知识精讲】 一、数学归纳法的概念： 【问题】认真观察分析下列问题，然后回答如下的思考问题： 1、设等差数列｛｝的首项为，公差为d，推导数列｛｝的通项公式； 2、已知数列｛｝的前几项分别是：4，- ，2，- ，--求数列｛｝的一个通项公式； 3、已知数列｛｝的前几项分别是：3，5，9，17，33，--求数列｛｝的一个通项公式。 『思考问题』 【问题】中涉及的几个问题的共同特点是：①已知一个问题有限的几个特殊项的结果； ②需要得出该问题能够符合各项的一个表示式； 解答【问题】中问题时，为得到问题能够符合各项的一个表示式的基本方法是：①把已知有限的几个特殊项化成相同的结构；②认真观察分析它们的结构，寻找其共同的特征，推测出项的各部分与项数n的关系；③确定各项的符号特征；④注意运用“因数分解”和“”的技巧。 1、归纳法的定义： （1）归纳法的定义：由一系列有限特殊事件得出一般结论的推理方法，叫做归纳法； （2）归纳法的特征：运用归纳法得到的结论不一定正确。 2、数学归纳法的定义： （1）数学归纳法的定义：为证明一个与自然数n相关的命题，先证明n取某一个值时命题成立，再假设n=k时命题成立，只要能够证明n=k+1时，命题也成立，就可得出结论命题对一切自然数n都成立的结论，这种推理的方法，叫做数学归纳法； （2）数学归纳法的特征：运用数学归纳法得到的结论一定正确，但数学归纳法只适用于与自然数相关的命题的证明；同时数学归纳法证明命题的步骤和格式都是固定的规范模式。 二、数学归纳法的原理： 1、数学归纳法的基本方法： 数学归纳法的基本方法是：①证明当n取某一个值时命题成立（这一步是递推的基础）； ②假设n=k（kN，且k≥）时命题成立（具有已知条件的作用），证明n=k+1时，命题成立（这一步是关键，需要“一凑假设”，“二凑结论”）；③ 得出结论命题对一切自然数n（nN，且n≥）都成立； 2、数学归纳法第二步的基本方法： （1）数学归纳法第二步采用“进”的基本方法是：①把假设n=k命题成立作为已知条件；②将n=k换成n=k+1，通过“一凑假设”，“二凑结论”的基本方法证明结论成立； （2）数学归纳法第二步采用“�———�的基本方法是：①把假设n=k命题成立作为已知条件；②将n=k换成n=k+1，再把命题式子中n=k的部分换成假设式，从而证明结论成立。 【探导考点】 考点1数学归纳法的定义：热点①给出命题的证明过程，判断证明方法是不是数学归纳法； 热点②给出用数学归纳法证明命题的过程，判断证明方法是否正确； 考点2数学归纳法的运用：热点①直接给出命题，运用数学归纳法证明命题；热点②给出问题的几个特殊项，从而得出一般的结论并用数学归纳法对结论的正确性进行证明。 【典例解析】 【问题1】解答下列问题： 用数学归纳法证明命题“（n）当n是3的倍数时为实数”时，在验证n=3时命题成立之后要判定命题成立，还需要（ ） A 在假设n=k(k是3的倍数）成立后，证明n=k+1时命题也成立 B 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+1时命题也成立 C 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+2时命题也成立 D 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+3时命题也成立 2、判断下面的证明过程是否正确，用数学归纳法证明： 3+7+11+--+（4n-1）=n(2n+1)。 证明：①当n=1时，右边=1×（2×1+1）=1×3=3=左边，命题成立；②假设当n=k时，命题成立，即3+7+--+(4k-1)=k(2k+1)，当n=k+1时，3+7+--+(4k-1)+(4k+3)=(k+1) (4k+3+3)=(k+1)(2k+3)，当n=k+1时，命题成立,根据①②得到，对一切自然数n，3+7+11+--+（4n-1）=n(2n+1)成立。 3、比较与的大小（n）。 『思考问题1』 【问题1】是 ... ...