5.3.2 余弦函数的图象和性质 【教学目标】 1. 理解余弦函数的图象和性质 , 会用 “五点法 ” 画出余弦函数的简图 . 2. 进一步领会利用数形结合研究函数的方法 , 提升逻辑推理的核心素养 . 【教学重点】 余弦函数的图象和性质 . 【教学难点】 余弦曲线的得出 . 【教学方法】 本节课主要采用观察分析与讲练结合的教学方法 . 教师先引导学生由诱导 公式得出余弦函数与正弦函数图象的关系 , 得到余弦曲线 , 并总结出作余弦函 数图象的 “五点法 ”. 然后结合余弦线或余弦曲线 , 得出余弦函数的性质 . 通 过例题 , 进一步巩固余弦函数的图象和性质 . 【教学过程】 教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图 导 入 复习诱导公式以及特殊角的余弦函 数值 . 教师提问 , 学生作答 . 为得出余 弦函数的图 象做准备 . 新 课 余弦函数 y=cos x, x∈ R. 1. 余弦函数的图象 对于函数 y=cos x, 由诱导公式 cos x=sin ( * ) 得 y= cos x=sin , x∈ R. 而函数 的图象可以通过正弦函数 教师带领学生回顾诱导公 式 cos x = sin 然 后提问 : 余弦函数与正弦函 数联系密切 , 能否在正弦函 数的研究基础上 , 探讨余弦 函数的图象和性质 学 生 小 组 讨 论 , 并 尝 试 回答 . 续表 教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图 新 课 y=sin x, x∈ R 的图象向左平移 得到 . 于是 , 将正 弦函数的图象向左平移 就得到余弦 函数的图象 . 另外 , 根据余弦函数的图象 , 我们 可以发现 (3π 0 ÷ , (2π 1) 这五个点是作出 è 2 , , , 余弦函 数 简 图 的 关 键 点 , 又 因 为 角 x+k · 2π 与角 x 的 余 弦 值 相 等 , 于 是得到 [0, 2π] 上余弦函数的图象后 , 沿 x 轴向左 、右分别平移 2π, 4π, … , 就可得到y=cosx, x∈R的图象. 余弦函数的图象称为余弦曲线 . 2. 余弦函数的性质 由单位圆中的余弦线或余弦函数的 图象 , 可得余弦函数的性质 : (1) 值域: [ -1, 1] . 当 x=2kπ, k∈Z 时 , ymax =1; 当 x= (2k+1) π, k∈Z 时 , ymin = -1. (2) 周期性 余 弦 函 数 是 一 个 周 期 函 数 , 2kπ (k∈Z且 k≠0) 都 是 它 的 周 期 , 2π 是其最小正周期 . 教师引导学生总结余弦函 数与 正 弦 函 数 图 象 之 间 的 联系 . 教师提示 : 观察 y=cosx, x∈ [0, 2π] 的图象 , 最高 点是 哪个 最 低 点 是 哪个 图 象 与 x 轴 有 几 个 交 点 分别是什么 学生观察 、作答 . 教师指出 : 在精确度要求 不高的 情 况 下, “五 点 法 ” 是常用的画余弦函数图象的 方法. 教 师 引 导 学 生 观 察 : 在 [0, 2π] 上 , 图 象 的 最 高 点 、最低点的坐标分别是什 么 在定义域 R上呢 学生小组讨论 , 得出余弦 函数的值域 . 教师引导学生理解 : 因为 cos(x+k · 2π) =cos x (k∈ Z), 所以余弦函数y=cos x 在 x∈[-2π, 0], [2π, 4π], 教师用问 题引导学生 观 察 图 象 , 对余弦函数 的图象形成 直观认知 . 每个性质 都先用观察余 弦函数图象的 方法得出 , 这 具有一定的难 度 , 所以教师 应注意用问题 引导学生来观 察余弦函数 的 图 象 , 使 学生在观察 时有的放矢. 续表 教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图 新 课 (3) 奇偶性 由公式 cos( -x) =cos x 可知 , 余 弦函数 y=cos x, x ∈ R 是 偶 函 数 , 它的图象关于 y 轴对称 . (4) 单调性 余 弦 函 数 在 闭 区 间 [(2k-1) π, 2kπ] (k∈ Z) 上 是 增 函 数 ; 在 闭 区 间 [2kπ, (2k+1) π] (k∈ Z) 上 是 减函数 . 例 1 求下列函数的最大值 、最小 值和周期 . (1) y=5cos x; (2) y=-8cos( -x) . 练习 1 本节练习 A组第 1题 . 例 2 不求值 , 比较下列各对余弦 值的大小 : (1) 与 cos 练习 2 本节练习 B组第 1题 . [4π, 6π], … 时 的 图 象 与 x∈[0, 2π] 的形状完全 一 样 , 只是位置不同 . 学生小组讨论 , 得 ... ...
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