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课件网) 复数第8章目录8.1 复数的概念8.2 复数的四则运算8.3 复数的极坐标形式和指数形式8.1 复数的概念复数与复数集如图所示，我们可以把逆时针转180°看成是先逆时针转一半 （90°），再逆时针转一半 （90°）。仿照将乘-1看作逆时针转180°的方式，我们引入符号i，将乘i看作逆时针转90°。这样，两次乘i就逆时针转了180°，相当于乘-1。即i×i=i2=-1。因此，i是-1的一个平方根。需要说明的是，i不是实数，也不表示具体的数量，称为虚数单位。有了虚数单位i，任何负数都能开方。例如，由（±2i）2=（±2）2·i2=-4得到-4的平方根为±2i。全体复数组成的集合称为复数集，用字母C表示，即C={z|z=a+bi，a，b∈R}。复数z表示成a+bi（a，b∈R）的形式称为复数的代数形式，并规定：0+0i=0，0+bi=bi。当b=0时，复数z=a+bi=a称为实数。当b≠0时，复数z=a+bi称为虚数，其中，当a=0且b≠0时，复数z=a+bi=bi称为纯虚数。把数系扩展到复数系后，复数的分类如下：如果两个复数的实部相等，且虚部也相等，那么我们就说这两个复数相等，即若a，b，c，d∈R，则如果两个复数都是实数，我们知道它们可以比较大小。如果两个复数不都是实数，即至少有一个不是实数，那么它们只有相等与不相等两种关系，而不能比较大小。复平面及相关概念复平面任何一个复数z=a+bi对应一个有序实数对（a，b）；反之，任何一个有序实数对（a，b）对应一个复数z=a+bi。例如：有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点Z（a，b）是一一对应的，因此，可借用平面直角坐标系中的点Z（a，b）来表示复数z=a+bi，也可以用复数z=a+bi来描述平面直角坐标系中的点Z（a，b）。如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，它表示复数z=a+bi。我们把这种建立了直角坐标系用来表示复数的平面称为复平面。这时，x轴称为实轴，y轴除去原点的部分称为虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数。按照这种表示方法，任意一个复数，都有复平面上唯一确定的一个点与它对应；反过来，复平面上任意一个点，也都有唯一确定的一个复数与它对应。由此可知，复数集C与复平面上所有的点组成的集合是一一对应的。观察下面两对复数： z1=3+i与z2=3-i； z1=-1+2i与z2=-1-2i。可以发现，第一对复数z1=3+i与z2=3-i的实部相等，虚部互为相反数，如图a所示，它们所对应的点A与B关于实轴对称；第二对复数z1=-1+2i与z2=-1-2i和第一对复数具有相同的特征。例如，复数3+i的共轭复数是3-i，纯虚数i的共轭复数是-i，实数5的共轭复数是5。互为共轭复数的两个复数z=a+bi与=a-bi所对应的点Z（a，b）与点Z'（a，-b）关于实轴对称，如图所示。用向量表示复数如图所示，设任意一个复数z=a+bi在复平面上所对应的点为Z（a，b）。连接OZ，显然点Z可以唯一确定一个有向线段，习惯上，把有向线段称为向量（物理学中也称为矢量）；反过来，任意一个向量也可以唯一确定一个点Z（a，b）。由此可知，点Z与向量一一对应。因此，复数z=a+bi与向量也是一一对应的，即复数集C中的元素与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合中的元素是一一对应的。所以，我们可以用向量表示复数z=a+bi。通常，我们规定：相等的向量表示同一个复数。向量的大小 （有向线段的长度）称为复数z=a+bi的模 （或绝对值），记作|z|或|a+bi|，由模的定义可知：特别地，当虚部为零，即复数z=a+bi=a是实数时，它的模等于|a|，就是实数a的绝对值；当复数z=0时，它的模等于0。复数的辐角与辐角主值设复数z=a+bi对应于向量，以实轴的正半轴为始边，向量为终边的角θ，称为复数z=a+bi的辐角，它表示出向量的方向。显然，非零复数z=a+bi的辐角不是唯一的。若θ是复数的一个辐角，则2k ... ...
