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课件网) 平面向量 第5章 1 目录 5.1 平面向量的概念及其线性运算 5.2 平面向量的坐标表示 5.3 平面向量的数量积 2 5.1 平面向量的概念及其线性运算 3 平面向量的概念 我们把类似位移、速度、力等既有大小又有方向的量称为向量，而把那些只有大小没有方向的量 （如长度、时间、年龄等）称为数量。 处在平面内的向量常被称为平面向量。本章讨论的向量都是平面向量。 在实例考察关于力的实例中，重力 G、浮力 F 都是用带箭头的线段表示的。线段的长度表示力的大小，线段的箭头方向表示力的方向。由于带箭头的线段能直观形象地反映向量的大小和方向，因此，我们通常用这种带箭头的线段来表示向量，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。 4 如图a所示，A，B 是线段的两个端点。如果向量的方向是从A 到 B （A 为起点，B为终点），则该向量可记作 ，读作 “向量 AB”如果方向相反（B为起点，A为终点），则该向量可记作 ，读作“向量BA”。显然， 与 的大小相等且方向相反。 用带箭头的线段表示一个已知向量时，线段的起点可以在平面上任何位置，被限定的只是终点相对于起点的位置。如图b所示，一个水平向右、大小为50牛顿的力F 可以用 来表示，也能用 来表示，即向量只与大小和方向有关，而与起点选取的位置无关。这样的向量常被称为自由向量。本章讨论的向量都是自由向量。 5 6 向量也可以用小写英文字母a，b，c，…表示。这些字母印刷时用黑体，手写则应写成 ，…的形式。 向量有两个基本要素：大小和方向。向量的大小称为向量的模（或长度），向量 ，a， 的长度分别记作 。 我们把模为零的向量称为零向量，记作0。零向量的方向是任意的。 一排学生一起前进，在这一过程中，他们的位移方向相同；飞机在北京和重庆之间往返的位移方向相反。 我们把方向相同或相反的非零向量称为平行向量。如图所示，a，b，c是三个平行向量，可记作 a∥b∥c。 7 我们规定：零向量与任一向量平行，即0∥a。 长度相等且方向相同的向量称为相等向量。一排同学一起齐步前进，他们的位移就是相等向量。 与向量a 模相等且方向相反的向量b 称为向量a 的负向量（或相反向量），记作b=-a。 如图所示，a，b，c是一组平行向量，在平面内任意地作一条平行于上述向量的直线l。任选l上的一点O，可以作 。这就是说，任一组平行向量都可以被移到同一条直线上。所以，我们也将平行向量称为共线向量。 8 平面向量的加减运算 如图所示，我们用字母 A，B，C 分别表示北京、上海、广州三个城市所在的位置。如果一架飞机从 A 处 （北京）飞到B 处 （上海），然后再从B 处飞到C 处 （广州），那么这架飞机两次 （飞行）位移 和 的和，与飞机从A 处直接飞到C 处的位移 相同。 我们把位移 称为位移 与 的和，记作 9 如图所示，已知向量a，b，在平面内任取一点A，作 =a， =b，则向量 称为a与b的和向量，记作a+b，即 求向量和的运算称为向量的加法，上述这种求两个向量和的方法称为向量加法的三角形法则。 10 如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，因为 ，所以 。。 可见， 与 的和正好是以向量 ， 为邻边的平行四边形的对角线AC 表示的向量。这种求不共线的两个向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。 对于向量加法，我们规定： 1. a+0=0+a=a。 2. a+（-a）=0。 向量加法还满足下列运算律： 1. a+b=b+a。 2. （a+b）+c=a+（b+c）。 通常我们将 （a+b）+c记作a+b+c。 11 我们知道，减去一个数等于加上这个数的相反数。同样地，我们定义 a-b=a+（-b）， 即减去一个向量等于加上这个向量的负向量，所得到的向量称为a与b 的差向量。 求向量差的运算称为向量的减法。 由向量减法的定义，起点相同的两个 ... ...
