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课件网) 3.1.3 函数的奇偶性 第三章 函数 人教B版（2019） 课标要点 核心素养 1.了解函数的奇偶性 数学抽象 2.理解奇偶函数的性质 直观想象 3.掌握函数奇偶性的判断及应用 逻辑推理 初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识，而且已经知道，在平面直角坐标系中，点 (x ， y) 关于 y 轴的对称点为 (－x ， y)，关于原点的对称点为 (－x ，－y). 例如，(－2 ， 3) 关于 y 轴的对称点为_____，关于原点的对称点为_____. (2 , 3) (2 ,－3) 1.函数的奇偶性 尝试与发现 填写下表，观察指定函数的自变量 x 互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图像应具有的特征． 不难发现，上述两个函数，当自变量取互为相反数的两个值 x 和－x 时，对应的函数值相等，即 f (－x)= (－x)2 = x2 = f (x)， g (－x) = = = g(x). 一般地，设函数 y= f (x) 的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有－x ∈ D，且 f (－x)= f (x)，则称 y= f (x) 为偶函数. 偶函数 如果 y= f (x) 是偶函数，其图象具有什么特征呢 点 P(x ， f (x)) 与 Q(－x，f (－x)) 都是函数 y= f (x) 图象上的点，按照偶函数的定义，点Q又可以写成 Q(－x，f (x)) ，因此点 P 和点 Q 关于 y 轴对称，所以偶函数的图象关于 y 轴对称；反之，结论也成立，即图象关于 y 轴对称的函数一定是偶函数，如图所示是尝试与发现中两个函数的图象. 尝试与发现 按照类似的方式得到奇函数的定义，以及奇函数图象的特征: 一般地，设函数 y= f (x) 的定义域为 D，如果对D内的任意一个x，都有_____，且_____，则称 y= f (x) 为奇函数. 奇函数的图象关于_____对称. －x ∈ D f (－x)=－ f (x) 原点 奇函数的图象特征也可按照下述方式得到：点 P(x ， f (x)) 与 Q(－x，f (－x)) 都是函数 y= f (x) 图象上的点，如果 y= f (x) 是奇函数，则点 Q 又可以写成 Q(－x，－f (x)) ，因此点 P 和点 Q 关于原点对称，所以奇函数的图象关于原点对称；反之，结论也成立，即图象关于原点对称的函数一定是奇函数.如图所示是奇函数 f (x)= x3和 g(x)= 的图象. 如果一个函数是偶函数或是奇函数，则称这个函数具有奇偶性. 可以看出，当 n 是正整数时，函数 f (x)= x2n是偶函数，函数 g(x)= x2n-1 是奇函数. 例1 判断下列函数是否具有奇偶性： （1）f (x)= x+x3+x5； （2）f (x)= x2+1； （3）f (x)= x+1； （4）f (x)= x2，x ∈ [－1 ， 3]. 解:（1）因为函数的定义域为 R，所以 x ∈ R 时，－x ∈ R . 又因为 f (－x)= (－x)+(－x)3+(－x)5=－(x+x3+x5)=－f(x)， 所以函数 f (x)= x+x3+x5是_____函数. （2）因为函数的定义域为 R，所以 x ∈ R 时，－x ∈ R . 又因为 f (－x)= (－x)2+1= x2+1= f (x)， 所以函数 f (x)= x2+1是_____函数. 奇 偶 （3）因为函数的定义域为 R，所以 x ∈ R 时，－x ∈ R . 又因为 f (－1)= 0，f (1)= 2，所以 f (－1)≠－f (1)且 f (－1)≠f (1)， 因此函数 f (x)= x+1 既不是奇函数也不是偶函数（也可说成 f (x)是非奇非偶函数）. （4）因为函数的定义域为 [－1 ， 3]，而3 ∈ [－1 ， 3]，但－3 [－1 ， 3]，所以函数 f (x)= x2，x ∈ [－1 ， 3] 是非奇非偶函数. 例1（4）说明，设函数 f (x) 的定义域为 D，如果存在 x0 ∈ D，但－x0 D，即函数 f (x) 的定义域不关于原点对称，则 f (x) 既不是奇函数也不是偶函数. 例2 已知奇函数 f (x) 的定义域为 D，且0 ∈ D，求证：f (0)= 0. 证明：因为 f (x) 是奇函数，所以 f (－0)= －f (0)， 即 f (0)= －f (0)，所以 2 f (0)= 0，因此 f (0)= 0. 2.函数奇偶性的应用 因为函数的奇偶性描述了函数图象具有的对称性，所以利用函数的奇偶性能简化函数性质的研 ... ...
