磨尖课08 焦比体系 学案 (原卷版+解析版)

磨尖课08 焦比体系 　　一、焦比体系之椭圆 【4a体周长】过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1的弦AB与右焦点F2构成的△ABF2的周长是4a(如图)； 【4a体面积】==··2csin α=，S△AOB==.(其中h为△ABF2的边AB上的高，h2为△AOB的边AB上的高，c为椭圆半焦距，α为直线AB的倾斜角) 【焦长公式】如图，A是椭圆+=1(a>b>0)上一点，F1，F2分别是其左、右焦点，∠AF1F2为α，AB过左焦点F1，c是椭圆半焦距，则 (1)|AF1|=； (2)|BF1|=； (3)|AB|==. 【焦比定理】已知过椭圆+=1的左焦点F1的弦为AB，|AF1|=，|BF1|=，令|AF1|=λ|BF1|，即= ecos α=，代入焦长公式可得|AF1|=. 二、焦比体系之双曲线 【周长问题】若双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过左焦点F1(A，B都在左支上)，|AB|=l，则△ABF2的周长为4a+2l(如图1). 【焦长公式】(1)当AB交双曲线于一支时，|AB|=，a2-c2cos2α>0 1(如图2). 【焦比定理】双曲线焦比定理和椭圆的焦比定理一致： 当AB交双曲线于一支时，令|AF1|=λ|F1B|，即= ecos α=(λ>1)，代入焦长公式可得|AF1|=. 当AB交双曲线于两支时，= ecos α=(λ>1)，代入焦长公式可得|AF1|=. 　　三、焦比体系之抛物线 已知抛物线y2=2px(p>0)，焦点为F，AB为过焦点的弦，∠AFx=α，则有以下结论： 【焦半径倾斜角式】|AF|=，|BF|=(如图3). 【焦点弦倾斜角式】|AB|=x1+x2+p=. 【焦点三角形面积】S△AOB=. 【焦比定理】设=λ，则cos α=，|AF|=p. 【几何结论】设AB交准线于点P，则=cos α，=cos α(如图4). (1)已知椭圆C：+=1(a>b>0)，F1，F2分别是其左、右焦点，过右焦点F2，0的直线交椭圆C于A，B两点，连接AF1并延长交椭圆C于点D，∠AF1F2=α，当弦AB最短时，|AF1|=3|F1D|，则椭圆C的方程为　　　　　　　　　. (2)已知F1，F2分别为双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，斜率为的直线l过F1分别交双曲线左、右支于A，B点，|F2A|=|F2B|，则双曲线C的渐近线方程为　　　　　　　　　. (3)(2024·河南模考)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，若|AF|，，|FB|成等比数列，则线段AB在y轴上的射影长为　　　　　　　　. 答案　(1)x2+=1　(2)y=±x　(3)4p 解析　(1)当AF2⊥x轴时，|AB|=，此时AB为椭圆的通径.由于=3，故根据焦长公式得=， 整理得ccos α=，所以|AF1|==. 又|AF2|=，所以|AF1|+|AF2|=+=2a，又因为a2=b2+，解得a2=1或a2=(舍去)，b2=，所以椭圆C的方程为x2+=1. (2)因为|F2A|=|F2B|，所以|BF1|-|AF1|=4a，设直线l的倾斜角为α，则tan α=，cos α=. 由双曲线的焦比体系结论，得|BF1|=，|AF1|=， 由|BF1|-|AF1|=4a得-=4a，整理得18a2=7b2，即=±，所以双曲线C的渐近线方程为y=±x. (3)设直线l的倾斜角为θ(θ≠0)， 过点A和B分别作准线的垂线，垂足分别为A'和B'，过F作FC⊥AA'于点C(图略)， 由抛物线的定义可得|AF|=|AA'|=|A'C|+|CA|=p+|AF|cos θ， 即p+|AF|cos θ=|AF|，所以|AF|=， 同理，可得|BF|+|BF|cos θ=p，所以|BF|=， 所以|AF|·|BF|=·=， 又|AB|=|AF|+|BF|，所以|AB|=+=， 因为|AF|，，|BF|成等比数列，所以=|AF|·|BF|， 所以|AB|2=16|AF|·|BF|，所以=，即sin2θ=， 所以sin θ=或sin θ=-， 因为线段AB在y轴上的射影长为|AB||sin θ|， 所以|AB||sin θ|=·|sin θ|==4p. 1.利用焦长焦比体系要非常熟悉推导过程(定义+余弦定理)，在处理解答题的时候，若用本模块公式则必须给出必要证明. 2.公式ecos α=属于结论公式，用上就能很快解题，和角度相关的题，优先考虑应用此公式. 1.已知F1，F2分别为椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线交椭圆于M，N两点，若MF2⊥x轴，且=-4，则椭圆的离心率为(　　). ... ...