第7讲 双曲线(一) 复习要点 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.3.通过对双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想． 一 双曲线的概念 1．一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 2．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0： (1)当ac时，点P不存在． 二 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a， x∈R 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实轴、 虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 常/用/结/论 1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径． 2．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同的渐近 渐近线求法：－＝0. 线的方程可表示为－＝t(t≠0)． 3．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 4．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 1．判断下列结论是否正确． (1)平面内到点F1(0,5)，F2(0，－5)的距离之差的绝对值等于10的点的轨迹是双曲线．(?) (2)方程－＝1(mn>0)表示双曲线．(√) (3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(√) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(√) 2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A． B．5 C． D．2 解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2，∴e2＝＝5，∴e＝. 答案：A 3．与双曲线－y2＝1有相同的渐近线，且与椭圆＋＝1有共同的焦点的双曲线方程是( ) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：可设双曲线方程为y2－＝λ，故2λ＋λ＝6，λ＝2，所以所求双曲线方程为－＝1. 答案：B 4．(2024·广东汕头模拟)写一个焦点在y轴上且离心率为的双曲线方程：_____. 解析：取c＝，则e＝＝，可得a＝1，所以b＝＝，所以符合条件的双曲线方程为y2－＝1(答案不唯一，符合要求即可)． 答案：y2－＝1(答案不唯一，符合要求即可) 题型 双曲线的定义及应用 典例1(1)(2024·河南名校模拟)已知△ABC的顶点A(－6,0)，B(6,0)．若△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( ) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1(x>3) D．－＝1(x>3) (2)(2024·广州执信中学开学测试)已知双曲线Γ：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线Γ的左、右两支于A，B两点，且∠F2AB＝∠F2BA，则|BF2|＝( ) A．＋4 B．2＋4 C．2 D． (3)已知双曲线C：－＝1，F1，F2是其左、右焦点．圆E：x2＋y2－4y＋3＝0，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则|PQ|＋|PF1|的最小值是( ) 利用双曲线定义转化成(|PQ|＋|PF2|)min＋6＝(|F2E|－r)＋6＝5＋2. A．5＋2 B．5＋2 C．7 D．8 解析：(1)如图，|AD|＝|AE|＝9，|BF|＝|BE|＝3，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝9－3＝6. 切线长定理． 注意是双曲线的右支(除去右顶点)． 根据双曲线的定义，所求轨 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
