第8讲 双曲线(二) 复习要点 1.理解直线与双曲线的位置关系，会求直线被双曲线所截的弦长.2.通过直线与双曲线的位置关系，进一步体会数形结合的思想． 直线与双曲线位置关系的判断 1．直线与双曲线的位置关系(代数法) 联立 得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0时，①相切：Δ＝0；②相交：Δ>0；③相离：Δ<0. 2．直线与双曲线的位置关系(几何法和渐近线法) 可以根据渐近线的斜率判断直线与双曲线的位置关系．设此双曲线的渐近线斜率为±k，当直线过点P且斜率等于±k时，直线与双曲线相交于一点，如直线①③均与双曲线右支交于一点；当直线过点P且斜率在(－k，k)上时，直线与双曲线左、右两支各交于一点，如直线②；当直线过点P且斜率在(－∞，－k)∪(k，＋∞)上时，直线可能与双曲线的右支交于两点，如直线⑥，也可能与双曲线的右支相切，如直线④，还可能与双曲线相离，如直线⑤. 常/用/结/论 同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为；异支的焦点弦中最短的为实轴，其长为2a. 1．判断下列结论是否正确． (1)若直线与双曲线相切，则直线与双曲线只有1个交点．(√) (2)若直线与双曲线只有1个交点，则直线与双曲线一定相切．(?) (3)若直线与双曲线没有交点，则直线与双曲线联立后所得到的方程的Δ<0.(?) (4)直线与双曲线最多有2个交点．(√) 2．直线y＝与双曲线－y2＝1交点的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：直线与双曲线的一条渐近线平行，所以有一个交点． 答案：B 3．双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是( ) A．{1} B．(0,1) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝ax(a>0)与双曲线x2－y2＝a2没有公共点，则a≥1. 答案：D 4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)，直线y＝k(x－c)与双曲线的右支有两个交点，则( ) A．|k|> B．|k|< C．|k|> D．|k|< 解析：双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k(x－c)经过焦点F(c,0)，当k>0时，k>，当k<0时，k<－，故|k|>.故选A． 答案：A 题型 直线与双曲线的位置关系 典例1已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数k的取值范围．方法二：l过定点P(1,0)，因此可采用数形结合法． (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 解：消去y并整理，得 (1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 注意讨论二次项系数． 当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程化为2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，且只有一个公共点． 当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)． 当即－时，方程(*)无实数解，即直线l与双曲线没有公共点． 综上所述，(1)当－时，直线l与双曲线没有公共点． 直线与双曲线位置关系的判断方法 (1)方程思想的应用 判断已知直线与双曲线的位置关系，将直线与双曲线方程联立，消去y(或x)，则二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行(或重合)，直线与双曲线只有一个公共点(或无公共点)；二次项系数不等于0时，若Δ>0，则直线与双曲线有两个公共点，若Δ＝0，则直线与双曲线有一个公共点，若Δ<0，则直线与双曲线没有公共 ... ...
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