6.1 余弦定理与正弦定理 教案

第二章 平面向量及其应用 §6 平面向量的应用 6.1余弦定理与正弦定理（2） 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法. 2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题. 3.通过正弦定理的推导、和应用提升逻辑推理、数学运算的素养. 教学重点：正弦定理. 教学难点：正弦定理的推导. PPT课件. 一、探索新知 ★资源名称： 【知识点解析】正弦定理 ★使用说明：本资源详细讲解了正弦定理的内容和相关知识. 注：此图片为视频截图，如需使用资源，请于资源库调用． 1.创设情境，引入课题 问题1：如图，在△ABC中，已知A＝30°，B＝45°，BC＝4，如何求AC的长度？ 师生活动：能用余弦定理进行求解吗？情境中的问题可以转化为什么问题求解？ 预设的答案：不能，情境中的问题可以转化为：已知两角A,B和一角对边，如何求 设计意图：通过提出实际问题，以前所学知识很难解决这个问题, 要解决这个问题，就需要进一步学习———正弦定理.（版书） 2．推导正弦定理 问题2：观察直角三角形，它的边角之间有什么关系？ 师生活动：学生回忆，回答问题. 预设答案：. 追问1：你能发现两等式之间的联系吗？ 师生活动：学生回忆，回答问题. 预设答案：能，. 设计意图：直观感受直角三角形的边角关系，为学习正弦定理做铺垫. 追问2：在直角三角形中，我们知道＝＝成立，在一般的△ABC中，＝＝还成立吗？ 师生活动：学生回忆，回答问题. 预设答案：在一般的△ABC中，＝＝仍然成立． 设计意图：由一般到特殊，因为正弦定理. 问题3:在锐角三角形ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，如何推导成立？ 师生活动：教师引导学生推导. 预设答案：如图，设AB边上的高为CD，CD＝asin_B＝bsin_A， ∴＝，同理，作AC边上的高BE，可得＝， ∴＝＝. 追问1问题3的推导，体现了什么数学思想？如果是钝角三角形，又如何转化证明？ 师生活动：让学生自由发挥，分组讨论，一起判断，教师点评. 预设答案：转化化归，化斜为直.如图，在钝角三角形ABC中，A为钝角，过C作CD⊥AB，垂足为点D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知，＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin A，＝sin B. ∴CD＝bsin A＝asin B，∴＝. 同理，＝，故＝＝. 设计意图：用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使我们理解更深刻，记忆更牢固. 知识讲解1： 正弦定理： (1)语言表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. (2)符号表示：＝＝. 追问：你能解决问题1提出的问题吗？ 师生活动：学生思考，解决问题. 预设答案：能，因为A＝30°，B＝45°，BC＝4，所以由正弦定理得,所以. 设计意图：进一步理解正弦定理. 3.正弦定理的变形 问题4：在△ABC中，若已知角A和角B，边b，能求△ABC的其它的角和边吗？ 师生活动：学生思考. 预设答案：能求，由C＝π－(A＋B)可求角C，由a＝，c＝，可求边a和c． 问题5：在△ABC中，若已知a＞b，能否利用正弦定理得到sin A＞sin B 师生活动：学生思考. 预设答案：能得到，设＝＝=t,由a＞b，且a＝tsin A，b＝tsin B，可得tsin A＞tsin B，即sin A＞sin B． 设计意图：进一步理解正弦定理及其应用，归纳正弦定理的变形. 知识讲解2： 正弦定理的常见变形： (1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； (2)＝＝＝ 问题6：正弦定理的基本作用是什么？ 预设的答案：正弦定理的基本作用是边角互换 设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 二、初步应用 例1某地出土古代玉佩，如图所示，其一角已破损.现测得如下数据：.为了复原，请计算原玉佩另两边的长.（精确到） 师生活动：学生思考、求解，找学生板演. 预设答案：参考教材P111例4的解析. 设计意图：初步理解运用正弦定理解决实际问题. 例2在中，角所对的边分别为，若 ... ...