6.1余弦定理与正弦定理 教案

第二章 平面向量及其应用 §6 平面向量的应用 6.1余弦定理与正弦定理（3） 1.能利用正弦定理推导正弦定理与三角形外接圆直径的关系. 2.能运用正弦定理判断三角形的形状. 3.掌握利用正弦定理解三角形，并加以合理运用． 教学重点：正弦定理的应用. 教学难点：利用正弦定理解三角形. PPT课件. 一、探索新知 1.复习引入 问题1：正弦定理如何描述？ 师生活动：学生思考，举手回答. 预设的答案： 文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 符号语言：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，则＝＝. 设计意图：通过知识回顾，巩固正弦定理. 问题2：正弦定理的常见变形有哪些？ 师生活动：学生思考，举手回答. 预设的答案：(1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； (3)＝＝＝. 设计意图：通过知识回顾，承前启后，为后面的学习作铺垫. 问题3:我们知道每个三角形都有外接圆，请问外接圆的直径与正弦定理之间有关系吗？有什么样的关系呢？ 师生活动：学生思考，教师补充. 预设的答案：有，(R是外接圆的半径). 设计意图：通过复习提出，引出本节课课题———余弦定理与正弦定理（3）.（版书） 2.正弦定理的变形 ★资源名称： 【知识点解析】正弦定理的变式 ★使用说明：本资源详细讲解了正弦定理的变式的内容和相关知识. 注：此图片为视频截图，如需使用资源，请于资源库调用． 问题3在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.对任意三角形都成立吗？ 师生活动：教师指导学生思考. 预设答案：当时，△ABC外接圆的圆心在斜边中点，所以,所以，所以由正弦定理得.当C为锐角或钝角时，如下图. 在△中，,根据同弧的圆周角相等得,所以，在△ABC中，由正弦定理得，所以，所以上式对任意三角形都成立. 设计意图：通过探究，感受正弦定理变形. 问题4根据，你能推出正弦定理的哪些变形？ 师生活动：学生思考，推导. 预设答案：若R为△ABC外接圆的半径，则 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)＝2R. 知识讲解： R为△ABC外接圆的半径，则： (1) (2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (4)＝2R. 追问：在中，，，则外接圆的面积为_____. 师生活动：学生思考，求解. 预设答案：设外接圆的半径为R，则，故外接 圆的面积为. 设计意图：巩固正弦定理的变式.利用正弦定理解三角形的类型:(1)已知两角一边；已知两边及其一边的对角. 3.三角形解的变形 问题5已知两条边的边长和其中一边的对角的大小解三角形，它的解有几种情况？ 师生活动：学生思考，教师补充. 预设答案：已知两角一边,有解时,只有一解；已知两边及其一边的对角，有解的情况可分别为几种情况.为锐角时,若无解；或，一解；，两解；为钝角或直角时,若均无解；，一解. 追问：已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A＝60°，c＝6，a＝6，则此三角形有几解？ 师生活动：学生思考，教师补充. 预设答案：由等边对等角可得C＝A＝60°，由三角形的内角和可得B＝60°，所以此三角形为正三角形，有唯一解． 设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 问题6：判断三角形形状时，围绕三角形的边角关系，如何利用正弦定理进行边角互化？ 师生活动：要么把角转化为边，通过代数变形找出边之间的关系，要么把边转化为角，通过三角变换找出角之间的关系，当然也可以边角同时考虑． 预设的答案：利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径： (1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2，或余弦定理，进而确定三角形的形状．利用的公式为sin A＝，sin B＝，sin C＝. (2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定 ... ...