6.6 简单几何体的再认识 教案

第六章 立体几何初步 6.6 简单几何体的再认识(2) 1.掌握台体的体积公式，会利用它们求有关空间图形的体积． 2.了解球的结构和性质、球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积． 3.会求简单组合体的体积及表面积． 教学重点：台体的体积公式、球的表面积和体积公式． 教学难点：简单组合体的表面积和体积的计算． 一、新课导入 情境：生活中常见的水桶多数是圆台，如果我们知道水桶上、下底面的半径分别是，，你能计算出这个水桶的容积吗？ 要计算水桶的容积，本质上是计算它对应的圆台的体积．那么如何计算台体的体积呢？ 设计意图：通过学生们熟悉的圆柱体进行导入，给出“曲面转化为平面”的思想在此类问题中的妙用，引导学生后面对锥体、台体侧面展开上的应用． 二、新知探究 问题1：圆台可以看成是由圆锥被平行于底面的平面所截形成的，类比用两个圆锥的侧面积之差计算圆台的侧面积，如何计算圆台的体积呢？ 答案：可以用两个圆锥的体积相减，得到圆台的体积． 追问1：如图，设圆台上、下底面的半径分别是，，圆台的高，你能尝试推导一下圆台的体积公式吗？ 答案：由相似的性质，不难得出：， 祖暅原理可得锥的体积之差∴， ；； ． 说明：圆台的体积公式同样适用于棱台，在此我们不做证明，有兴趣的同学可以自己尝试推导． 追问2：将柱体、台体、椎体的体积公式归纳起来思考，有什么发现？ 答：当台体的上底面扩大到与下底面全等时，即,，台体公式转化成了柱体公式；当台的上底面缩小到一个点时，即，台的体积公式转化为锥的体积公式. 想一想：前面我们学习了柱、锥、台体的表面积及体积的计算公式，那么球的表面积和体积该如何计算呢？ 为此，我们需要先来了解球的结构和性质： 问题2：用一个平面去截半径为的球，所得的截线是什么形状？ 答：用一个平面去截半径为的球，若平面经过球心，则平面与球面的公共点显然都是共面的且到球心的距离都为，这说明过球心的平面截球面所得截线是以球心为圆心的圆． 当平面不经过球心时，如图，不妨设于点，记，对于平面与球面的任意一个公共点，都满足，所以．此时截线是以点为圆心、以为半径的圆． 我们称球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆． 与圆和直线相切类似，当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点． 追问：过球外一点作球的切线，这点和切点之间的线段长称为这点到球的切线长，过球外一点，可以作球的无数条切线．那么所有切线的切线长相等吗？所有切点组成什么图形？ 答：如图，设过点的直线与球相切于点，则平面与球面的交线是球的大圆，由直线与圆相切的性质可得，所以=． 设点在上的垂足为，则长度恒定不变． 这说明，过球外一点的所有切线的切线长都相等．这些切点的集合是以点为圆心、为半径的圆，圆面及所有切线围成了一个圆锥． 问题3：一个底面半径和高都等于的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为的半球的体积有什么关系呢？ 答：相等．理由如下： 用距圆柱下底面高为的平面分别截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为：， 右边的半球体被平面所截的截面为圆，可得圆的半径为：，故截面的面积为：，由祖暅原理知，上述两个几何体的体积相等． 即，． 所以，． 追问：如何在球的体积公式的基础上，推导球的表面积公式？ 师生活动：小组互动，学生探讨，点名交流. 答：把球分成个小网格，连接球心和每个小网格的顶点，整个球体被分割成个小锥体．（这些小锥体的底面并不是真正的多边形，但只要这些小锥体的底面足够地小，就可以把它们近似地看成棱锥） 当n越大，每个小锥体的底面越平，就越近似于棱锥，其高越 ... ...