中小学教育资源及组卷应用平台 2024--2025学年度人教版数学七年级上册学讲练测讲义 第二章 有理数的运算 专题2.4 综合与实践：进位制的认识与探究 课节学习目标 1.各进位制表示数的方法。 2.掌握不同进位制间的转化方法。 3.学习进位制的判断。 4.学习运用进位制的转化进行算式的简化计算。 课节知识点解读 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，可使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n位制，对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字0 （n-1）进行计数，特点是逢n进一，现在我们通常使用的是十进位制（十进位制不用标角标，其他要标角标） 一、数的进制及其表示方法 1. 十进制 我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。 我们知道十进制数写成展开式的形式为： 例如：234=2×102+3×101+4×100 2. 二进制 在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、、、、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为： 。 3. k进制 一般地，对于k进位制，每个数是由0，1，2，…，共k个数码组成，且“逢k进一”。进位制计数单位是，，，……。如二进位制的计数单位是，，，……，八进位制的计数单位是，，，……。 4. k进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式 ； 十进制表示形式：； 二进制表示形式：； 为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k，表示是k进位制的数。 如：，，,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数。 二、进制间的转换 1. 进制数转化成与其相等的十进制数方法： 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可以得到与其相等的十进制数。 （1）将七进制数转化成十进制数举例 （2）化为十进制是多少？ 。 （3）化为十进制是多少？ 。 2. 十进位制转化为与其相等的进位制方法 将十进位制数化成与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，知道商为1，将所得的余数按照倒序从低位到高位排序即可，如： 方法总结：一般地，十进制整数化为k进制数的方法是：除以k取余数，一直除到被除数小于k为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k进制数。反过来，k进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k进制数按k的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果。 三、k进制的四则混合运算和十进制一样 二进制的四则运算的与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一。 二进制的四则运算规则如下： 加法：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10 减法：0-0=0，1-0=1，1-1=0，（同一个数位不够减时，向高一位借1当2） 先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。 二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。 注意：对于任意非零自然数n,我们有。 四、进位制的判断 探究过程： 提问1：k进制数化为十进制数的一般方法是什么？ 首先将k进制数按k的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果。 提问2：虽然不知道1030是几进制数，但是可以先把它按照n的次幂展开，展开结果是多少？ 。 提问3：我们还知道它转化为十进制数是140，接下来怎么做？ ，可以把140分解质因数为，因为1030中最大的数字是3，所以n不可能等于2，且n不超过10，依次把4、5、7带入n中，只有 ... ...
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