中小学教育资源及组卷应用平台 人教A版（2019）必修第二册《8.3 简单几何体的表面积与体积》2024年同步练习卷（2） 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为( ) A. B. C. D. 2.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A. B. C. D. 3.在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球.若，，，，则V的最大值是( ) A. B. C. D. 4.体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A. B. C. D. 5.已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，，则球O的体积为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分。 6.已知三棱柱，底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的体积为，则该三棱柱的体积为_____. 7.棱长为3的正方体内有一个球，与正方体的12条棱都相切，则该球的体积为_____. 8.如图所示，正方体的棱长为3，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_____. 9.如图，长方体的体积为60，E为的中点，则三棱锥的体积是_____. 10.各棱长均为1且底面为正方形的平行六面体，满足，则_____；此平行六面体的体积为_____. 11.如图，正四面体ABCD的体积为，E、F是棱AD、BD靠近点D的三等分点，G是棱BC靠近点B的三等分点，H是棱AC靠近点A的三等分点，则多面体体积为_____. 12.如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱的体积为，球O的体积为，则的值是_____. 三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题12分 如图所示的绕x轴和y轴各旋转一周，各自会产生怎样的几何体，分别计算其表面积． 14.本小题12分 四面体ABCD中，，，，求这个四面体的体积. 15.本小题12分 如图，已知E，F分别是三棱柱的侧棱和上的点，且，三棱柱的体积为m，求四棱锥的体积. 答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：圆台的上、下底面圆半径分别为r，R，且圆台有内切球， 圆台的母线长， 圆台的内切球的直径即为圆台的高， 故圆台的内切球的半径为， 球的表面积为 故选： 若圆台有内切球，则圆台的母线长为，进而求出圆台的高，即圆台的内切球的直径，可得球的表面积． 本题考查球的表面积，熟练掌握圆台的几何特征是解答的关键． 2.【答案】B 【解析】【分析】 本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力． 由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积． 【解答】 解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心， 则其外接球的半径为， 球的表面积为， 故选 3.【答案】B 【解析】【分析】本题考查直三棱柱与球相切的问题，考查棱柱与球的结构特征及球的体积公式. 由题意可得若V最大，球与直三棱柱的部分面相切，当与三个侧面都相切时，可求得球的直径为4，超过直三棱柱的高，球放不进去，则球与上下底面相切，此时球的直径与棱柱高相等，该球的体积最大，利用球体积公式即可得出最大值. 【解答】解：由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切， 若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4， 超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去， 则球可与上下底面相切，此时球的半径， 该球的体积最大， 故选 4.【答案】B 【解析】解：因为正方体的体积为8， 所以正方体的棱长为2， 因为正方体的体对角线即为外接球的直径， 所以正方体外接球的直径， 所以半径为， 则该球的表面积为 故选： 利用正方体的体积求出棱长， ... ...
