2.4 曲线与方程（PDF含解析） 2023-2024学年高二数学同步讲义（人教B版2019选择性必修第一册）

2.4 曲线与方程 分层练习 一、单选题 1．在平面直角坐标系内，到点 A 1,2 和直线 l： x + y - 3 = 0距离相等的点的轨迹是（ ） A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】A 【详解】由题意，点 A 1,2 在直线 x + y - 3 = 0上，即动点到点 A 的距离与动点到直线 l的距离相等， 所以动点的轨迹是一条过点 A 且与直线 l 垂直的直线. 故选：A. 2．已知坐标满足方程 f (x, y) = 0的点都在曲线C 上，那么 A．曲线C 上的点的坐标都适合方程 f (x, y) = 0 B．不在C 上的点的坐标必不适合 f (x, y) = 0 C．凡坐标不适合 f (x, y) = 0的点都不在C 上 D．不在C 上的点的坐标有些适合 f (x, y) = 0，有些不适合 f (x, y) = 0 【答案】B 【详解】根据题意可以举例方程 f x, y = 0为 x2 + y2 =1(x > 0)，曲线C 为单位圆，可知方程表示的曲线为 曲线C 的一部分，结合选项知 A，C，D 都不正确，只有 B 正确． 故选 B． 3．在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A(-1,1)关于原点O对称，点 P 是动点，且直线 AP 与BP的斜率之积 1 为- ，则点 P 的轨迹方程为（ ） 3 A．3x2 + y2 = 4(x ±1) B．3x2 + y2 =1(x ±1) C． x2 + 3y2 = 4(x ±1) D． x2 + 3y2 =1(x ±1) 【答案】C 【详解】Q点 B 与点 A(-1,1)关于原点O对称\B 1, -1 设P x, y Qk y -1, k y +1 1AP = BP = x ±1 ，且 k gkx +1 x -1 AP BP = - 3 k y -1 y +1 y 2 -1 1 \ 2AP gkBP = = 2 = - x ±1 \ x + 3y 2 = 4(x ±1) x +1 x -1 x -1 3 \P的轨迹方程为 x2 + 3y2 = 4(x ±1) 故选：C 4．动点A 在圆 x2 + y2 =1上移动时，它与定点B 3,0 连线的中点的轨迹方程是 （ ） A． x2 + y2 + 3x + 2 = 0 B． x2 + y2 - 3x + 2 = 0 C． x2 + y2 + 3y + 2 = 0 D． x2 + y2 - 3y + 2 = 0 【答案】B 【详解】设连线的中点为P(x, y) ,则因为动点 A(xA , yA ) 与定点B 3,0 连线的中点为P(x, y) ,故 ì xA + 3 = x 2 ìxA = 2x - 3 í í ,又A 在圆 x2 + y2 =1上,故 (2x - 3)2 + (2y)2 =1 yA + 0 y yA = 2y , = 2 即 4x2 -12x + 9 + 4y2 =1,4x2 -12x + 8 + 4y2 = 0即 x2 + y2 - 3x + 2 = 0 故选 B 二、多选题 5．在平面直角坐标系 xOy 中，已知定点 A 0，1 ，B 3，1 ，动点 P 满足 PA = 2 PB ，记动点 P 的轨迹为曲 线C ，直线 l : kx - y + 2 - 3k = 0(k R) ，则下列结论中正确的是（ ） A．曲线C 的方程为 (x - 4)2 + ( y -1)2 = 4 B．直线 l与曲线C 的位置关系无法确定 C．若直线 l与曲线C 相交，其弦长为 4，则 k = -2 D． BP 的最大值为 3 【答案】AD 【详解】设动点P(x, y) ，由 PA = 2 PB ，则 x2 + ( y -1)2 = 2 (x - 3)2 + ( y -1)2 ，化简得 (x - 4)2 + ( y -1)2 = 4 ， A 选项正确； 直线 l : k(x - 3) - y + 2 = 0过定点 D(3,2) ，点D在圆C 内，直线 l与曲线C 相交，B 选项错误； 弦长为 4，等于圆的直径，圆心 (4,1)在 l上，代入直线方程得 k = -1，C 选项错误； 由 (x - 4)2 + ( y -1)2 = 4 ，圆心C 4,1 ，半径为 2， BP = BC + 2 = (4 - 3) + 2 = 3max ， D 选项正确. 故选：AD 三、填空题 6．写一个关于 y 轴对称，且经过点 A 3,0 的曲线方程 ． 【答案】 x2 + y2 = 9（答案不唯一） 【详解】解：满足题意的方程可以为 x2 + y2 = 9，答案不唯一，符合题意即可． 故答案为： x2 + y2 = 9（答案不唯一）. MA 7．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 0, -1 ，P t, t - 2 ，若动点满足 = 2MO （O为坐标原点），则 MP 的最小值是 . 2 【答案】 2 【详解】设点M 的坐标为 (x, y)， MA x2 + (y +1)2 因为 = 2 ，可得 = 2MO ，整理得 x 2 + (y -1)2 = 2， x2 + y2 又由点P t, t - 2 ，可得点 P 在直线 x - 2 = y，即 x - y - 2 = 0 ， -1- 2 2 则圆心M (0,1) 到直线 x - y - 2 = 0 的距离为 d ... ...