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课件网) 6.1函数的单调性 1.了解函数的单调性与导数的关系. 2.会利用导数研究函数的单调性. 3.会求函数的单调区间. 4.加强直观想象与数学运算能力的培养. 课标定位素养阐释 激趣诱思 问题1 已知函数:(1)y=3x+1,(2)y=-4x,(3)y=2x,它们的导数的正负与它们的单调性之间有怎样的关系 提示 (1)y′=3>0,y=3x+1是增函数. (2)y′=-4<0,y=-4x是减函数. (3)y′=2xln 2>0,y=2x是增函数. 知识点拨 常数函数 递增 递减 注意：函数的两个单调区间之间不能用“∪” 注意： 1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便,但应注意f'(x)>0(或f'(x)<0)仅是函数f(x)在 递增(或递减)的 . 2.若在某个区间内,f‘(x)≥0,且只在有限个点为0,则在这个区间内,函数y=f(x)单调递增;若在某个区间内,f’(x)≤0,且只在有限个点为0,则在这个区间内,函数y=f(x)单调递减. . 某个区间上 举个例子 充分条件 函数f(x)=- , f′(x)=-<0,但函数f(x)=- 在定义域内不单调，只是在区间(-∞,0),(0,+∞). 函数f(x)=x3在定义域内是递增, 但f′(0)=0, f′(x)>0不是恒成立. 例如函数f(x)=x3,f′(x)=3x2,且f′(0)=0,但f(x)=x3在定义域内是增函数. 二、函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系 一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)上: 注意点： 原函数的图象看增(减)变化,而导函数的图象看正(负)变化. 三、求函数单调区间步骤 答案 利用导数求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求导数f′(x). (3)由f′(x)>0(或f′(x)<0),解出相应的x的取值范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上单调递增;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间上单调递减. (4)结合定义域写出单调区间. 小题热身 1.函数y=f(x)的图象如图所示,则其导函数y=f′(x)的图象可能是( ) 2.已知函数f(x)=1+2x-sin x,则f(2),f(3),f(π)的大小关系是( ). A.f(2)>f(3)>f(π) B.f(3)>f(2)>f(π) C.f(π)>f(2)>f(3) D.f(π)>f(3)>f(2) 3.求函数f(x)=3x2-2ln x的单调区间. 答案 1.A 2.D 3. 解析 2.∵f'(x)=2-cos x>0,∴f(x)在定义域R上是增函数.又π>3>2,∴f(π)>f(3)>f(2). 可借助表格表达单调性,如图 函数图象与其导函数图象的关系 判断函数的单调性及求单调区间 求含参的函数的单调区间 已知函数的单调性求参数的范围 题型探究 题型二 题型一 题型三 题型四 单调性的应用 题型五 题型一 函数图象与其导函数图象的关系 1. (1)已知f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,那么f(x)的图象最有可能是图中的( ) 答案 D 解析 由题意可知,当x<0和x>2时,导函数f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈(0,2)时,导函数f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故函数f(x)的图象如选项D. (2)已知函数f(x)与其导函数f'(x)的图象如图所示,则满足f'(x)
0时,函数f(x)单调递增;当f'(x)<0时,函数f(x)单调递减,故可得,①②中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的;而③中导函数为负的区间内相应的函数图象不递减,故错误;④中导函数为负的区间内相应的函数图象不递减,故错误. 返回 题型二 判断函数的单调性 4. 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x3-2x2+x; (2)f(x)=x2·e-x; 解析 (1)函数的定义域为R, 因为f′(x)=3x2-4x+1,令f′(x)>0,解得x>1或x<;令f′(x)<0,解得
