课件18张PPT。等比数列一、概念与公式1.定义2.通项公式3.前 n 项和公式二、等比数列的性质 1.首尾项性质: 有穷等比数列中, 与首末两项距离相等的两项积相等, 即:特别地, 若项数为奇数, 还等于中间项的平方, 即:a1an=a2an-1=a3an-2= … . an=a1qn-1=amqn-m . a1an=a2an-1=a3an-2= … =a中2 . 特别地, 若 m+n=2p, 则 aman=ap2 .2.若 p+q=r+s(p、q、r、s∈N*), 则 apaq=aras .3.等比中项 如果在两个数 a、b 中间插入一个数 G, 使 a、G、b 成等比数列, 则 G 叫做 a 与 b 的等比中项.5.顺次 n 项和性质 4.若数列 {an} 是等比数列, m, p, n 成等差数列, 则 am, ap, an 成等比数列. 7.单调性 8.若数列 {an} 是等差数列, 则 {ban } 是等比数列; 若数列 {an} 是正项等比数列, 则 {logban} 是等差数列.三、判断、证明方法1.定义法;2.通项公式法;3.等比中项法. {an} 是递增数列; {an} 是递减数列; q=1 ? {an} 是常数列; q<0 ? {an} 是摆动数列. 典型例题 1.设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 若 S1=1, S2=3, 且 Sn+1-3Sn+ 2Sn-1=0(n≥2), 试判断 {an} 是不是等比数列. 2.设等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 若 S3+S6=2S9, 求数列的公比 q. 3.三个数成等比数列, 若将第三项减去 32, 则成等差数列, 再将此等差数列的第二项减去 4, 又成等比数列, 求原来的三个数. 4.已知数列 {an} 的各项均为正数, 且前 n 和 Sn 满足: 6Sn=an2+ 3an+2. 若 a2, a4, a9 成等比数列, 求数列的通项公式.a1=1, a2=2, Sn+1-Sn= 2(Sn-Sn-1), an=2n-1, {an}是等比数列. 设三数为 a, b, c, 得 b=2+4a, c=7a+36. an+1-an=3, a1=1, an=3n-2. (1)a1(1-q)2, a1(1-q)3;(3)-a1q(1-q)n-1.(2) bn=3qn-1 . 5.数列 {an} 中, a1=1, a2=2. 数列 {an?an+1} 是公比为q(q>0)的等比数列. (1)求使 anan+1+an+1an+2>an+2an+3(n?N*) 成立的 q 的取值范围; (2)若 bn=a2n-1+a2n (n?N*), 求 {bn} 的通项公式.∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn). 整理得 nSn+1=2(n+1)Sn. 又 a2=3S1=3a1=3, 故 S2=a1+a2=4=4a1.因此对于任意正整数 n, 都有 Sn+1=4an. ∴Sn=n?2n-1 . ∴Sn+1=(n+1)?2n. ∵an=Sn-Sn-1=n?2n-1-(n-1)?2n-2=(n+1)?2n-2 (n≥2). 而 a1=1 也适合上式, ∴an=(n+1)?2n-2 (n?N*). ∴4an=(n+1)?2n=Sn+1. 即 Sn+1=4an. (1)证: 由已知 an+1=Sn+1-Sn=4an+2-4an-1-2, ∴an+1=4an-4an-1(n≥2).∴bn=an+1-2an=4an-4an-1-2an=2(an-2an-1)=2bn-1.∴{bn}是以 3 为首项, 2 为公比的等比数列. 又由 a1=1, a1+a2=S2=4a1+2 得 a2=5, ∴b1=a2-2a1=3. ∴bn=3?2n-1 . ∴数列 {cn} 是等差数列.∴Sn=4an-1+2=4?(3n-4)?2n-3+2=(3n-4)?2n-1+2. ∴an=2n?cn=(3n-1)?2n-2. ∴an-1=(3n-4)?2n-3 (n≥2). 而 S1=a1=1 亦适合上式, ∴Sn=(3n-4)?2n-1+2 (n?N*). 1.四个正数, 前三个数成等差数列, 其和为 48, 后三个数成等比数列, 其最后一个数是 25, 求此四数.解: 由已知可设前三个数为 a-d, a, a+d(d 为公差)且 a+d>0.∵后三数成等比数列, 其最后一个数是 25, 解得: a=16, d=4.故所求四数分别为 12, 16, 20, 25.∴a-d+a+a+d=48, 且 (a+d)2=25a. ∴a-d=12, a+d=20. 课后练习题 2.在等比数列 {an} 中, a1+a6=33, a3a4=32, an+1
