2010高考数学专题复习课件：26三角函数的最值

课件22张PPT。三角函数的最值 一、高考要求 1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象等, 求三角函数的最大值和最小值. 2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和最小值. 3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来解决. 最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一, 需要综合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函数基本关系式、三角变换等, 也是函数内容的交汇点, 常见方法有: 1.涉及正、余弦函数以及 asin?+bcos?, 可考虑利用三角函数的有界性. 二、重点解析三、知识要点 2.形如 y=asin2x+bsinx+c 或 y=acos2x+bsinx+c 的函数可通过适当变换、配方求解. 3.形如 sinx+cosx, sinxcosx 在关系式中时, 可考虑换元法处理.常见的三角换元 1.若 x2+y2=1, 可设 x=cos?, y=sin?; 2.若 a≤x2+y2≤b, 可设 x=rcos?, y=rsin?, a≤r2≤b; 6.对于 x+y+z=xyz, 由在 △ABC 中, 有 tanA+tanB+tanC=tanA tanBtanC, 可设 x=tanA, y=tanB, z=tanC(A+B+C=?); 典型例题1.求函数 y=2sec2x+cot4x 的最值. 解: y=2(1+tan2x)+cot4x=2+tan2x+tan2x+cot4x =2+3=5. 仅当 tan2x=cot4x, 即 tanx=?1 时取等号. y 无最大值. 解: 由已知 y>0, 只需考察 y2 的最值. y 无最小值. 3.已知函数 f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x. (1)求 f(x) 的最小正周期; 解: (1)∵f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x∴f(x) 的最小正周期为 ?.解: y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+19. 4.设 0≤x≤?, 求函数 y=sin2x-8(sinx+cosx)+19 的最大值和最小值. ∵0≤x≤?, ∴当 t=-1, 即 x=? 时, y 取最大值 27.因此由 f(x) 的值域为 [-5, 1] 可得: 解得: a=2, b=-5 或 a=-2, b=1. 对于任意的 t1, t2?[1, 3], 且 t10 时, bsinx+acosx=-3sinx+4cosx=5sin(x+?) 2.函数 y=acosx+b(a, b为常数), 若 -7≤y≤1, 求 bsinx+acosx 的最大值.解得 a=4, b=-3, 此时, 当 a<0 时, bsinx+acosx=-3sinx-4cosx=5sin(x+?) 解得 a=-4, b=-3, 此时, 当 a=0 时, 不合题意. 综上所述, bsinx+acosx 的最大值为 5. 解: y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2-a+1.令 sinx=t, 则 y=-(t+a)2+a2-a+1(-1≤t≤1). 若 -a<-1, 即 a>1, 则当 t=-1 时, y 有最大值 3.求函数 y=cos2x-2asinx-a(a 为定值)的最大值 M. M=-(-1+a)2+a2-a+1=a; 若 -1≤-a≤1, 即 -1≤a≤1, 则当 t=-a 时, y 有最大值 M=-(-a+a)2+a2-a+1=a2-a+1; 若 -a>1, 即 a<-1, 则当 t=1 时, y 有最大值 M=-(1+a)2+a2-a+1=-3a. 4.当 a≥0 时, 求函数 f(x)=(sinx+a)(cosx+a) 的最大值、最小值以及相应的 x 的取值. 解: f(x)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2∵a 为常数,∴只需求 y=(t+a)2 的最值.解法 1 由已知 0≤sin?≤1 且 1-sin2?+2msin?-2m-2<0 恒成立.令 t=sin?, 则 0≤t≤1 且 1-t2+2mt-2m-2<0 恒成立.即 f(t)=t2-2mt+2m+1= ... ...