课件12张PPT。三角形中的三角函数三角形中的有关公式 1.内角和定理: 三角形三内角之和为?, 即 A+B+C=?.注 任意两角和与第三个角总互补;任意两半角和与第三个角的半角总互余; 锐角三角形?三内角都是锐角?任两角和都是钝角设 △ABC 中, 角 A、B、C 的对边为 a、b、c, ?任意两边的平方和大于第三边的平方.?三内角的余弦值为正值注 正弦定理的一些变式:(1)a:b:c=sinA:sinB:sinC; (3)a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC. 已知三角形两边一对角运用正弦定理求解时, 务必注意可能有两解.4.射影定理: a=bcosC+ccosB.应用一: 解三角形 例1 设△ABC 的三内角 A, B, C 成等差数列, 三边长 a, b, c 的倒数也成等差数列, 求三内角.例3 在△ABC 中, 若面积为 S, 且 2S=(a+b)2-c2, 求 tanC 的值.A=B=C=60? 提示: 令 A-C=2?, 可得: 4cos2?-3cos?-1=0 得: cos?=1 得: A=C. A=60?, B=30?, C=90? 应用举例应用二: 判断三角形的形状 例1 △ABC 中, 若 sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2C, 判断 △ABC 的形状.直角三角形 例4 在 △ABC 中, 已知 (a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC, 试判断三角形的形状. 例5 在△ABC中, 若 a2sin2B+b2sin2A=2abcosAcosB, (1)试判断三角形的形状; (2)若 cosB=4(1-cosA), 求 △ABC 三边 a, b, c的比.直角三角形或等腰三角形 正三角形 直角三角形或等腰三角形 直角三角形; 8:15:17 应用三: 三角形的证明提示: (1)法一: 边换角 法二: 角换边 (2)法一: 边换角法二: 角换边 法三: 构造图形 (3)作差换 c2 即可. 差为: 2(a2+b2)-4absin(C+30?) ≥2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0. (正三角形时取等号). 证: 由余弦定理知, cosA, cosB, cosC 为有理数, ∴cos5? 即 -cosC 为有理数, 而cos?=cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB, 证明 sinAsinB 为有理数即可 (由正弦定理可证). 或由 cos?cos5?=cos(3?-2?)cos(3?+2?) =cos23?cos22?-sin23?sin22? =cos23?cos22?-(1-cos23?)(1-cos22?) =cos2Acos2B-(1-cos2A)(1-cos2B) 为有理数, 且 cos??0, cos5? 为有理数知:cos? 为有理数. 例2 已知 △ABC 的三边均为有理数, A=3?, B=2?, 试证 cos5? 与 cos? 均为有理数.C2.在 △ABC 中, A>B 是sinA>sinB 成立的_____条件. 充要 课后练习3.在 △ABC 中, (1+tanA)(1+tanB)=2, 则 log2sinC= . 4. △ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边, 若 (a+b+c)? (sinA+sinB-sinC)=3asinB, 则 ?C= .60? 30? 8.在 △ABC 中, AB=1, BC=2, 则角 C 的取值范围是_____. 45? ∴60o
