2010高考数学专题复习课件：30导数的概念及运算(文)

课件15张PPT。导数的概念及运算一、复习目标 了解导数概念的实际背景、理解导数的几何意义、掌握函数y=xn(n?N*)的导数公式、会求多项式函数的导数.二、重点解析 导数的几何意义是曲线的切线的斜率, 导数的物理意义是某时刻的瞬时速度. 无限逼近的极限思想是建立导数概念, 用导数定义求函数的导数的基本思想. 导数的定义:利用定义求导数的步骤: (1)求 ?y;三、知识要点 f?(x0) 或 y? | x=x0, 即: 函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f?(x0), 就是曲线y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率 k, 即: k=tan?=f?(x0).2.导数的意义(1)几何意义:(2)物理意义: 函数 S=s(t) 在点 t0 处的导数 s?(t0), 就是当物体的运动方程为 S=s(t) 时, 物体运动在时刻 t0 时的瞬时速度v, 即: v=s?(t0).1.导数的概念3.几种常见函数的导数(1)c?=0(c 为常数), (xn)?=nxn-1(n?Q);4.如果 f(x), g(x) 有导数, 那么:[f(x)-g(x)]?=f?(x)-g?(x),[f(x)+g(x)]?=f?(x)+g?(x),[cf(x)]?=cf?(x).典型例题 1 解: (1)∵y=3x3+6x, ∴y?=(3x3)?+(6x)? 求下列函数的导数: (1)y=3x(x2+2); (2)y=(2+x3)2; (2)∵y=4+4x3+x6, (3)y=(x-1)(2x2+1); (4)y=(2x2+3)(3x-2). =9x2+6. ∴y?=4?+(4x3)?+(x6)? =12x2+6x5. (3)∵y=2x3-2x2+x-1, ∴y?=6x2-4x+1. (4)∵y=6x3-4x2+9x-6, ∴y?=18x2-8x+9. 典型例题 2 已知 f(x) 的导数 f?(x)=3x2-2(a+1)x+a-2, 且 f(0)=2a, 若 a≥2, 求不等式 f(x)<0 的解集.解: ∵f?(x)=3x2-2(a+1)x+a-2, ∴可设 f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+b. ∵f(0)=2a, ∴b=2a. ∴f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a =x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a) =(x-a)(x2-x-2) =(x+1)(x-2)(x-a) 令 (x+1)(x-2)(x-a)<0, 由于 a≥2, 则 当 a=2 时, 不等式 f(x)<0 的解集为(-∞, -1); 当 a>2 时, 不等式 f(x)<0 的解集为(-∞, -1)∪(2, a). 典型例题 3 已知曲线 C: y=x3-3x2+2x, 直线 l: y=kx, 且直线 l 与曲线 C 相切于点 (x0, y0)(x0?0), 求直线 l 的方程及切点坐标.∵点 (x0, y0) 在曲线 C 上, ∴y0=x03-3x02+2x0.又 y?=3x2-6x+2,∴在点 (x0, y0) 处曲线 C 的切线斜率 k=y?|x=x0.∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2.整理得 2x02-3x0=0. 注 有关曲线的切线问题, 可考虑利用导数的几何意义. 曲线 C 在某一定点处的切线是唯一的, 因此斜率也是唯一的(若存在的话), 采用斜率相等这一重要关系, 往往都可解决这类问题. 典型例题 4 ∴它在 P 处的切线斜率 k1=-2, 典型例题 5 求曲线 y=x3+3x2-5 过点 M(1, -1) 的切线方程. 解: 由 y=x3+3x2-5 知 y?=3x2+6x, 设切点为 P(x0, y0), 则 y? | x=x0=3x02+6x0, 曲线在点 P 处的切线方程为 y-y0=(3x02+6x0)(x-x0). 又切线过点 M(1, -1), ∴-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0), 即 y0=3x03+3x02-6x0-1. 而点 P(x0, y0)在曲线上, 满足 y0=x03+3x02-5, ∴x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1. 整理得 x03-3x0+2=0. 解得 x0=1 或 x0=2. ∴切点为 P(1, -1) 或 P(-2, -1). 故所求的切线方程为 9x-y-10=0 或 y=-1. 课后练习 1 求下列函数的导数: (1)y=(x2+1)(x-2); (2)y=(x-1)(x3+2x+6).解: (1)∵y=x3-2x2+x-2, ∴y?=(x3)?-(2x2)?+(x)?-2? (2)∵y=x4-x3+2x2+4x-6, =3x2-4x+1. ∴y?=(x4)?-(x3)?+(2x2)?+(4x)?-6? =4x3-3x2+4x+4. 课后练习 2 一质点作直线运动, 它所经过的路程 S(单位: m)和时间 t(单位: s)的关系是 S=3t2+t+1. (1)求 [2, 2.01] 这段时间内质点的平均速度; (2)当 t=2 时的瞬时速度.解: (1)∵?S=3?2.012+2.01+1-(3?22+2+1) =0.1303. =13.03(m/s). (2)∵v=S?=6t+1.∴v | t=2=13.即当 t=2 时, 质点运动的瞬时速度为 13m/s.课后练习 3 已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2, 0), 且在点 P 处有公共切线, 求 f(x)、g(x) 的表达式.解: ∵f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2, 0),∴a=-8. ∴f(x)=2x3- ... ...