课件24张PPT。导数的应用一、复习目标 了解可导函数的单调性与其导数的关系. 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号), 会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.二、重点解析 对于可导函数 f(x), 先求出 f?(x), 利用 f?(x)>0(或<0)求出函数 f(x) 的单调区间; 利用 f?(x)=0, 求出 f(x) 的极值点, 把极值点对应的函数值与区间端点所对应的函数值进行比较, 求出最值. 如果函数在区间内只有一个点使 f?(x)=0, 此时函数在这点有极大(小)值, 那么不与端点比较, 也可以知道这就是最大(小)值. 如果应用导数解决实际问题, 最关键的是要建立恰当的数学模型(函数关系), 然后再运用上述方法研究单调性及极(最)值.1.函数的单调性三、知识要点 (1)(函数单调性的充分条件)设函数 y=f(x) 在某个区间内可导, 如果 f?(x)>0, 则 y=f(x) 为增函数, 如果 f?(x)<0, 则 y=f(x) 为减函数, (2)(函数单调性的必要条件)设函数 y=f(x) 在某个区间内可导, 如果 f(x) 在该区间单调递增(或减), 则在该区间内 f?(x)≥0 (或 f?(x)≤0). 注 当 f? (x) 在某个区间内个别点处为零, 在其余点处均为正(或负)时, f(x) 在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的. 例 f(x)=x3 在 (-1, 1) 内, f?(0)=0, f?(x)>0(x?0). 显然 f(x)=x3 在 (-1, 1) 上仍旧是增函数. 极大值与极小值统称为极值. 是函数 f(x) 的一个极小值, 记作: y极小值=f(x0), 如果对 x0附近的所有点, 都有 f(x)>f(x0), 就说 f(x0) 2.函数极值的定义 设函数 f(x) 在点 x0 及其附近有定义, 如果对 x0 附近的所有点, 都有 f(x)
0, 右侧 f?(x)<0, 那么 f(x0) 是 极大值 ; (2)如果在 x0 附近的左侧 f?(x)<0, 右侧 f?(x)>0, 那么 f(x0) 是 极小值 . 一般地, 当函数 f(x) 在点 x0 处连续时4.求可导函数 f(x) 的极值的步骤:(1)确定函数的定义域;(3)求方程 f?(x)=0 的根;5.函数的最大值与最小值 在闭区间 [a, b] 上连续的函数 f(x) 在 [a, b] 上必有最大值与最小值. 但在开区间 (a, b) 内连续的函数 f(x) 不一定有最大值与最小值, 例如 f(x)=x, x?(-1, 1). 6.设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 求 f(x) 在 [a, b]上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求 f(x) 在 (a, b) 内的极值; (2)将 f(x) 的各极值与 f(a), f(b) 比较, 其中最大的一个是最大 值, 最小的一个是最小值.(2)求导数 f?(x); (4)检查 f?(x) 在方程 f?(x)=0 的根左右的值的符号, 如果左正右负, 那么 f(x) 在这个根处取得极大值; 如果左负右正, 那么 f(x) 在这个根处取得极小值.典型例题 1 已知 a?R, 求函数 f(x)=x2eax 的单调区间. 解: 函数 f(x) 的导数 f?(x)=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax. (1)当 a=0 时, 由 f?(x)<0 得 x<0; 由 f?(x)>0 得 x>0. ∴f(x) 的单调递减区间为 (-∞, 0), 单调递增区间为 (0, +∞),典型例题 2 已知 a 为实数, f(x)=(x2-4)(x-a). (1)求导函数 f?(x); (2)若 f?(-1) =0, 求 f(x) 在 [-2, 2] 上的最大值和最小值; (3)若 f(x) 在 (-∞, -2]和 [2, +∞) 上都是递增的, 求 a 的取值范围.解: (1)由已知 f(x)=x3-ax2-4x+4a, ∴f?(x)=3x2-2ax-4.∴f?(x)=3x2-x-4.(3)∵ f?(x) 的图象为开口向上的抛物线且过点 (0, -4), ∴由题设得 f?(-2)≥0 且 f?(2)≥0 . ∴8+4a≥0 且 8-4a≥0. ∴-2≤a≤2. 故 a 的取值范围是 [-2, 2]. 典型例题 3 解: (1)函数 f(x) 的定义域为 (-1, +∞). 令 f?(x)=0 得 x=0. 当 -10; 当 x>0 时, f?(x)<0. 又 f(0)=0, 故当且仅当 x=0 时, f(x) 取得最大值, 最大值为 0. (2)由题设 g?(x)=lnx+1. 当 0
