2010高考数学专题复习课件：35导数的运算(理)

课件17张PPT。导数的运算一、复习目标 掌握两个函数的和、差、积、商的导数运算法则, 了解复合函数的求导法则, 会求某些函数的导数.二、重点解析 在运用导数的四则运算法则进行简单函数的求导时, 要熟记常见函数的导数公式及运算法则. 对复合函数的求导, 要搞清复合关系, 选好中间变量, 分清每次是对哪个变量求导, 最终要把中间变量换成自变量的函数. 三、知识要点1.函数的和、差、积、商的导数: (u?v)?=u??v?; (uv)?=u?v+uv?; (cu)?=cu?(c 为常数); 2.复合函数的导数 设函数 u=?(x) 在点 x 处有导数 u?x=??(x), 函数 y=f(u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 y?u=f ?(u), 则复合函数 y=f(?(x)) 在点 x 处有导数, 且 y?x=y?u· u?x. 或写作 f?x(?(x))=f?(u)??(x). 即复合函数对自变量的导数, 等于已知函数对中间变量的导数, 乘以中间变量对自变量的导数. 典型例题 1 解: (1)y?=(2x2+3)?(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)? =4x(3x-2)+(2x2+3)?3 求下列函数的导数: (1)y=(2x2+3)(3x-2); (2)y=x2sinx+2cosx; (2)y?=(x2sinx)?+(2cosx)? =18x2-8x+9. 法2 y?=(6x3-4x2+9x-6)? =18x2-8x+9. =(x2)?sinx+x2(sinx)?+2(cosx)? =2xsinx+x2cosx-2sinx. 典型例题 1 求下列函数的导数:典型例题 2 已知 f(x) 的导数 f?(x)=3x2-2(a+1)x+a-2, 且 f(0)=2a, 若 a≥2, 求不等式 f(x)<0 的解集.解: ∵f?(x)=3x2-2(a+1)x+a-2, ∴可设 f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+b. ∵f(0)=2a, ∴b=2a. ∴f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a =x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a) =(x-a)(x2-x-2) =(x+1)(x-2)(x-a) 令 (x+1)(x-2)(x-a)<0, 由于 a≥2, 则 当 a=2 时, 不等式 f(x)<0 的解集为(-∞, -1); 当 a>2 时, 不等式 f(x)<0 的解集为(-∞, -1)∪(2, a). 典型例题 3 设曲线 y=e-x(x≥0) 在点 M(t, e-t) 处的切线 l 与 x 轴、y 轴所围成的三角形面积为 S(t). (1)求切线 l 的方程; (2)求 S(t) 的最大值.解: (1)∵y?=(e-x)?=-e-x, ∴切线 l 的斜率为 -e-t, 切线 l 的方程为 y-e-t=-e-t(x-t), 即 e-tx+y-e-t(t+1)=0. (2)令 y=0, 得 x=t+1; 令 x=0, 得 y=e-t(t+1). 令 S?(t)>0, 得 0≤t<1; 令 S?(t)<0, 得 t>1. ∴S(t) 在 [0, 1) 上为增函数, 在 (1, +∞) 上为减函数. ∴S(t)max=S(1)典型例题 4 求曲线 y=x3+3x2-5 过点 M(1, -1) 的切线方程. 解: 由 y=x3+3x2-5 知 y?=3x2+6x, 设切点为 P(x0, y0), 则 y? | x=x0=3x02+6x0, 曲线在点 P 处的切线方程为 y-y0=(3x02+6x0)(x-x0). 又切线过点 M(1, -1), ∴-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0), 即 y0=3x03+3x02-6x0-1. 而点 P(x0, y0)在曲线上, 满足 y0=x03+3x02-5, ∴x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1. 整理得 x03-3x0+2=0. 解得 x0=1 或 x0=2. ∴切点为 P(1, -1) 或 P(-2, -1). 故所求的切线方程为 9x-y-10=0 或 y=-1. 典型例题 5 已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2, 0), 且在点 P 处有相同的切线. (1)求实数 a, b, c 的值; (2)设函数 F(x) =f(x)+g(x), 求 F(x) 的单调区间, 并指出函数 F(x) 在该区间上的单调性.解: (1)∵f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2, 0),∴a=-8.∴f(x)=2x3-8x. ∴f?(x)=6x2-8. ∵g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2, 0),∴4b+c=0. 又g?(x)=2bx, 4b=g?(2)=f?(2)=16, ∴b=4. ∴c=-16. ∴F(x)=2x3+4x2-8x-16. 综上所述, 实数 a, b, c 的值分别为 -8, 4, -16. ∴2?23+2a=0. ∴f?(2)=6?22-8=16. (2)由(1)知 f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16. ∴F?(x)=6x2+8x-8. ∴F(x) 的单调区间为: (-∞, -2)、典型例题 6 (2)证: 依题意, 在切线 l 的方程中令 y=0, 得 x2=x1(1-ax1)+x1=x1(2-ax1), ∴ax1<2, ∴2-ax1>0. 又 x1>0, ∴x2=x1(2-ax1)>0. ∴x2=x1(2-ax1)>x1. 课后练习 1 ∴y?=-2(1-x)-2(1-x)? (3)∵y=(sinx)cosx=ecosx?lnsinx, ∴y?=(ecosx?lnsinx)? =ecosx?lnsinx(cosx?l ... ...