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课件网) 28.4 垂径定理 第二十八章 圆 1.理解并掌握垂径定理及其推论的推导过程. (重点) 2.能够运用垂径定理及其推论解决实际问题. (难点) 学习目标 问题 赵州桥的半径是多少？ 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 情景导入 知识点一：垂径定理 问题1 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．沿着CD所在的直线折叠，你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ 新课讲授 · O A B C D E 线段：AE=BE 弧：AD=BD，AC=BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，根据前面的说理，点A与点B重合，AE与BE重合，AD和BD,AC与BC重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B C E D 证明:如图所示,连接OA,OB. 在△OAB中,∵OA=OB,OE⊥AB, ∴AE=BE,∠AOE=∠BOE. ∵∠AOC=180°-∠AOE,∠BOC=180°-∠BOE, ∴∠AOC=∠BOC. 如图所示,在☉O中,CD为直径,AB为弦,且CD⊥AB,垂足为E.求证：AE=BE，AD=BD，AC=BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AD=BD. ⌒ ⌒ ∴AC=BC. ⌒ ⌒ 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 几何语言： ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. · O A B C D E 归纳总结 例1 已知：如图， CD为⊙O的直径，AB为弦，且AB⊥CD，垂足为E. 若ED=2，AB=8，求直径CD的长. 解：如图，连接OA.设⊙O的半径为r. ∴ CD为⊙O的直径，AB⊥CD， ∴ AE=BE. ∴AB=8，∴ AE=BE=4， 在 Rt△OAE 中，OA2=OE2+AE2， OE=OD－ED，即r2 = (r－2)2+42. 解得r=5，从而2r=10. 所以直径CD的长为10. 典例精析 知识点二：垂径定理的推论 如图所示,在☉O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E. 【思考】 (1)若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗 AD与BD(或AC与BC)相等吗 说明你的理由. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ (2)若AD=BD(或AC=BC),能判断CD与AB垂直吗 AE与BE相等吗 说明你的理由. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 新课讲授 理由是:连接OA,OB,如图所示,则△OAB是等腰三角形, ∵AE=BE,∴CD⊥AB. 解:(1)CD⊥AB, AC=BC(或AD=BD). ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 由垂径定理可得 AC=BC，AD=BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ (2)CD⊥AB,AE=BE. 又∵OA=OB,∴AE=BE,CD⊥AB. 理由是：∵AD=BD,∴∠AOD=∠BOD, ⌒ ⌒ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理推论1 几何语言： · O A B C D E 你还有其他的结论吗？你发现了什么？ ∵ CD是直径，AE=BE， ∴ CD⊥AB, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 归纳总结 平分弦（不是直径）的所对的两对弧，则垂直平分这条弦. 垂径定理推论2 · O A B C D E 几何语言： ∴ CD⊥AB, AE=BE, ∵ CD是直径，AC =BC， ⌒ ⌒ 垂径定理的本质是: 知二得三 （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧 例2 解决求赵州桥拱半径的问题： 如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前面的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m 典例精析 解得R≈27.9. O D A B C R 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 即 R2=18.72+(R－7.2)2 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m. OA2=AD2+OD2 OD=OC－CD=R－7.2 AB=37.4 m，CD=7.2 m， 在图中 1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M， 下列结论不成立的是( ) A．CM＝DM B. CB＝DB C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MB ⌒ ⌒ D 当堂检测 2.如图，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是⊙O上一个动点(不与点A，B ... ...
