直线与圆的位置关系 直线的一般式方程： 复习提问： Ax+By+C=0（A、B 不全为 0） 圆的方程 标准方程： 圆心：(a，b)， 半径为r 一般方程： 点到直线的距离公式 1 2 3 圆心： ， 半径为 问题： 点与圆的位置关系有哪几种？ 点在圆外、点在圆上、点在圆内 那直线与圆的位置关系有哪几种？ 说一说：这个动画演示反映出直线和圆的位置关系有几种? 直线和圆的位置 图形 公共点个数 圆心到直线距离 d与半径r的关系 一、直线与圆的位置关系 直线和圆的位置 相交 相切 相离 图形 公共点个数 圆心到直线距离 d与半径r的关系 2 1 0 dr O ? d r O l ? d r O ? d r 一、直线与圆的位置关系 通过以上的探究，你能说出你是怎样判断直线与圆的位置关系的？ 相交 相切 相离 两个公共点 没有公共点 一个公共点 直线与圆的位置关系-- “数” ●O ●O 相交 ●O 相切 相离 r r r ┐d d ┐ d ┐ 圆心O到直线的距离为d，r为圆的半径。 直线与圆的位置关系-- “形” 二、判断直线和圆位置关系. 第一步：从圆的方程中找到圆心（a,b)和半径 r 第二步：求圆心（a,b)到直线的距离d 第三步：比较距离d和半径r d＜r → 相交 d=r → 相切 d＞r → 相离 1、几何法： 解：圆x 2 + y 2 -10x=0的圆心坐标为C（0，5），半径长为5,点C 到直线l 的距离: ????=2×5+1×0+54+1=35 >5 ????>????,所以直线与圆相离 ? 例题1 判断直线l ：2x +y +5 = 0和圆x 2 + y 2 -10x=0的位置关系. 二、判断直线和圆位置关系. 第一步：联立方程组 2、代数法 第二步：将直线方程代入圆的方程，消元得到一元二次方程 第三步：求出根的判别式?=????2?4???????? ?＞0 → 相交 ?=0 → 相切 ?＜0 → 相离 ? 例题2 判断直线l ：2x +y +5 = 0和圆x 2 + y 2 -10x=0的位置关系. 解：由直线l 与圆的方程，得 ① ② 由①变形的：y=-2x-5 ③ 把③代入②消去y，得x 2+（-2x-5）2-10x=0， ?????????+?????+?????=???????????????+????????????????????????=???? ? 化简得：x2+2x+5=0 ?=22-4×1×5=?16<0 所以方程组没有实数解，直线l与圆没有交点，直线与圆相离。 ? 你能总结判断直线与圆的位置关系的步骤吗？ 2 > 1 0 > < < = = 三、在平面直角坐标系中，如何过点P作出圆的切线，如何求出这条切线方程？ 由上图可知：点P在圆C上，过点P只能作一条直线与圆C相切 点P在圆C外，过点P可以作两条直线与圆C相切 点P在圆C内，过点P不存在直线与圆C相切 例题3： 经过下列各点与圆C：????+12+?????12=4有几条切线？ （1）P（0，-2） （2）Q（1，1） （3）R（0，2） ? 由圆的方程可知：圆心为（-1，1），半径是2 （1）点P到圆心的距离为10>2，所以点P在圆外，过点P有两条直线与圆C相切。 （2）点Q到圆心的距离为2，与半径相等。所以点Q在圆上，过点Q有一条直线与圆 （3）点R到圆心的距离为2<2，所以点R在圆内，过点R不存在直线与圆C相切。 ? 例题4 已知圆C的一般方程是????2+????2?2????+2????=0，求该圆过原点的切线方程。 ? 解： 将原点（0，0）带入圆的方程可以使方程成立，所以原点在圆上，所以过原点的圆的切线只有一条。 根据圆的方程为????2+????2?2????+2????=0可知圆心为（1，-1） 则圆心与切点的连线所在的直线斜率为-1，切线与这条直线互相垂直， 所以切线斜率为1，切线还经过原点（0，0）， 根据点斜式方程可得切线为：y=x 即:所求切线为x-y=0 ? 例题5 已知圆O：????2+????2=1。判断过点????（0，2）与圆????有几条切线，并求切线方程 ? 解：由圆的方程可知圆O的圆心为（0，0），半径为1 通过计算可知OQ之间的距离为2>1，所以点在圆外，过点Q有两条直线与圆O相切。 设所求切线的斜率为k，切线过点????（0，2），则切线l的方程为： ?????2=???????? ???????? 归纳总结 1、直线与圆的位置关 ... ...
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