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课件网) 3.7 正多边形与圆 你还能举出更多正多边形的例子吗？ 1.了解正多边形与圆的有关概念. 2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形． 正多边形： _____，_____的多边形叫做正多边形. 正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形. 三条边相等，三个角也相等（60度）. 四条边都相等，四个角也相等（90度）. 各边相等 各角也相等 菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？ A B C D E 求证：正五边形的对角线相等 【想一想】 怎样找圆的内接正三角形？ 怎样找圆的外切正三角形？ 怎样找圆的内接正方形？ 怎样找圆的外切正方形？ 怎样找圆的内接正n边形？ 怎样找圆的外切正n边形？ E F G H A B C D 0 A B C D 例1 把圆分成5等份，求证： ⑴依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形； ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的五边形是这个圆的外切正五边形. 【例题】 证明:(1)∵AB=BC=CD=DE=EA， ∴AB=BC=CD=DE=EA， ∵BCE=CDA=3AB， ∴∠1=∠2， 同理∠2=∠3=∠4=∠5， 又∵顶点A，B，C，D，E都在⊙O上， ∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 1 2 3 A B C D E 4 ⌒ ⌒ 5 · O （2）连接OA，OB，OC，则 ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB. ∵TP，PQ，QR分别是以A，B，C为切点的⊙O的切线， ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ. ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB. A B C D E P Q R S T O 又∵AB=BC， ∴AB=BC， ∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形. ∴∠P=∠Q,PQ=2PA. 同理∠Q=∠R=∠S=∠T， QR=RS=ST=TP=2PA， ⌒ ⌒ ∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切， ∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形. 把圆分成n（n≥3）等份： 依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形. 一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？ 【定理】 正三角形 有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？ 这两个圆有什么位置关系？ 正方形 有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？ 这两个圆有什么位置关系？ 那么，正n边形呢？ 【定理】任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆. 【类比联想】 以中心为圆心,边心距为半径的圆与各边有何位置关系 正多边形的中心: 一个正多边形的外接圆的圆心. 正多边形的半径: 外接圆的半径 正多边形的中心角: 正多边形的每一边所对的圆心角. 正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边的距离. 以中心为圆心,边心距为半径的圆为正多边形的内切圆 E F C D A B . 中心角 半径R 边心距r O E F C D O A B G R a . 中心角 边心距把△AOB分成 2个全等的直角三角形 设正多边形的边长为a,边数为n， 圆的半径为R,它的周长为L=na. 正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴. 若n为偶数，则其为中心对称图形. 1.各边相等，各角相等. 2.圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等份. 3.圆的外切正n边形的各边与圆的n个切点把圆分成 n等份. 4.每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个 圆是同心圆，圆心就是正多边形的中心. 正多边形的性质 【归纳】 5.正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么它还是中心对称图形. 6.正n边形的中心角和它的每个外角都等于360°/n，每个内角都等于(n-2)·180°/n . 7.边数相同的正多边形相似，周长比、边长比、半径比、边心距比、对应对角线比都等于相似比，面积比等于相似比的平方. 在Rt△OPC中,OC=4,PC=2.利用勾股定理,可得边心距 【解析】如图，正六边形ABCDEF的中心角为60°， △OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等 ... ...
