人教B版高中数学必修第一册第三章3-1-2第2课时函数的平均变化率课件(共33张PPT)+学案

第2课时　函数的平均变化率 学习任务 1．理解直线的斜率的含义及函数的平均变化率的概念．(数学抽象) 2．掌握判断函数单调性的充要条件．(逻辑推理、数学运算) 科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据曲线图思考下列问题： 问题　(1)在区间[6，17]对应的曲线上任取不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝一定大于零吗？ (2)如果在区间[2，10]对应的曲线上任取不同两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，＝一定大于零吗？ 知识点1　直线的斜率 (1)定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称为直线AB的斜率；(若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，当Δx≠0时，斜率记为)，当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在． (2)作用：直线AB的斜率反映了直线相对于 x轴的倾斜程度． 知识点2　平均变化率与函数单调性 若区间I是函数y＝f (x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f (x1)，y2＝f (x2)，＝，则： (1)y＝f (x)在区间I上是增函数的充要条件是＞0在区间I上恒成立． (2)y＝f (x)在区间I上是减函数的充要条件是＜0在区间I上恒成立． 当x1≠x2时，称＝为函数y＝f (x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．通常称Δx为自变量的改变量，Δy为因变量的改变量． (1)Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (2)注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f (x2)－f (x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f (x1)－f (x2)． (3)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f (x)＝x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但f (x)＝x2在[－2，2]上的图象先下降后上升，值域是[0，4]． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为a． (　　) (2)函数y＝f (x)的平均变化率＝的几何意义是函数y＝f (x)图象上两点A(x1，f (x1))，B(x2，f (x2))所在直线的斜率． (　　) (3)直线不一定有斜率，过函数图象上任意两点的直线也不一定有斜率． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)× [提示]　(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为＝＝＝a． (2)由平均变化率的几何意义可知＝表示过函数y＝f (x)图象上两点A(x1，f (x1))，B(x2，f (x2))所在直线的斜率． (3)过函数图象上任意两点的直线一定有斜率，因为根据函数的定义，一定有x1≠x2． 2．(1)过函数图象上两点A(－1，3)，B(2，3)的斜率＝_____． (2)过点M(－1，m)，N(m＋1，4)的直线的斜率为1，则m的值为_____． (1)0　(2)1　[(1)＝＝0． (2)由直线的斜率公式得＝1，即＝1，解得m＝1．] 3．一次函数y＝－2x＋3在R上是_____(选填“增”或“减”)函数． 减　[任取x1，x2∈R且x1≠x2， ∴y1＝－2x1＋3，y2＝－2x2＋3， ∴＝＝－2＜0， 故y＝－2x＋3在R上是减函数．] 类型1　平均变化率的计算 【例1】　一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数．试求铁板面积对温度的平均膨胀率． [思路导引]　由正方形的边长与面积关系列出函数表达式，再求面积的平均变化率． [解]　设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量为ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2， 所以平均膨胀率＝200(a＋a2t)＋100a2Δt． 　求平均变化率的3个步骤 (1)求出或者设出自变量的改变量． (2)根据自变量的改变量求出函数值的改变量． (3)求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值． [跟进训练] 1．如图是函数y＝f (x)的图象． (1)函数f (x)在区间[－1，1]上的平 ... ...