第15讲 8.6.3平面与平面垂直（第2课时 平面与平面垂直的性质定理） 课程标准 学习目标 ①掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题。 1.空间中平面与平面的垂直关系是“空间直线、平面的垂直”中的又一个重点，是继直线、平面的平行关系，直线与平面的垂直关系之后的迁移与拓展，是“类比”与“转化”思想的又一重要体现.本节内容包括二面角和两个平面互相垂直的定义、判定与性质，这一节的学习对理顺“空间直线、平面的垂直”的知识结构体系、提高学生的综合能力起着十分重要的作用. 知识点01： 平面与平面垂直的性质定理 （1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)符号（图形）语言：，， . (3)应用：①面面垂直线面垂直 ②作平面的垂线. 【即学即练1】（2023·广东·校联考二模）如图，在四面体中，，平面平面为线段的中点，则下列判断错误的是（ ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】C 【详解】因为平面平面，平面平面， 所以平面，即B项正确； 因为平面，所以，即A正确； 因为为线段的中点， 所以，同理可得平面，即D正确； 因为平面，平面，所以， 平面，若，则平面， 显然不重合，故C错误. 故选：C 题型01 平面与平面垂直的性质定理的应用 【典例1】（2024·广东·高三学业考试）在三棱锥中，分别为的中点，且. (1)证明：平面； (2)若平面平面，证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）证明:因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）证明：因为，为的中点，， 又平面平面 平面平面， 所以平面 又平面. 所以. 【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，和都垂直于平面，且，是的中点 (1)证明：直线//平面； (2)若平面平面，证明：直线平面. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：取中点，连接，， 因为为的中点，所以，， 因为，均垂直面，所以， 因为，所以且， 所以为平行四边形， 所以，面，面， 所以面． （2）如图，过作于， 平面平面，且两平面的交线为,平面, 平面， 由平面，． 平面，平面，， 又平面， 平面． . 【典例3】（2023上·江西·高三鹰潭一中校联考期中）如图1，山形图是两个全等的直角梯形和的组合图，将直角梯形沿底边翻折，得到图2所示的几何体.已知，,点在线段上，且在几何体中，解决下面问题. (1)证明：平面； (2)若平面平面，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）连接与相交于,连接， 由于，且, 所以, 又,所以, 平面,平面,所以平面， （2）过作交于，由于平面平面，且两平面交线为，平面， 所以平面，平面,故， 又四边形为直角梯形，故, 是平面内的两相交直线，所以平面， 平面，故. 【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在几何体中，矩形所在平面与平面互相垂直，且，，．求证：平面； 【答案】证明见解析 【详解】在矩形中，， 又平面平面，平面平面=， 平面，所以平面， 又平面，所以， 在矩形中，， 又，所以， 所以， 又，平面， 所以平面. 【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，，，，平面平面.求证：面； 【答案】证明见解析 【详解】取的中点，连接，， 因为，， 所以四边形为平行四边形，则， 又，所以，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 又，即，且，平面， 所以平面. 【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，，均为等边三角形，，O为AB中点，点D在AC上，满足，且面面ABC．证明：面POD． 【答案】证明见解析 【详解】证明：由条件、为等边三角形，为的中点， 则，，， 由余弦定理得 从而在中，， 得为直角三角形，且， 又面面，面面，且，面， 则由面 ... ...
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