（必修第二册 人教A版2019）第36讲 8-6-2直线与平面垂直的性质定理 （第2课时） (原卷版+解析版)

第13讲 8.6.2直线与平面垂直的性质定理 （第2课时） 课程标准 学习目标 ①掌握直线与平面垂直的性质定理。 ②会用性质定理证明相关问题。 本节主要内容是在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间直线与平而垂直的定义:通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理与性质定理:能运用直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理证明一些空间位置关系的简单命题教学重点是通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理、性质定理的过程，其核心是理解判定定理、性质定理的条件由内容所反映的数学思想是转化与化归思想，体现在不同语言之间的转化，把线面垂首问题转化为线线垂直问题 知识点01：直线与平面垂直的性质定理(定义) （1）定义转化性质：如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线. （2）符合语言：，. （3）图形语言： （4）定理应用：线面垂直线线垂直. 【即学即练1】（2024·全国·高二专题练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别是，的中点．求证： (1)平面； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）四棱锥的底面是矩形， ，平面，平面， ，又，、平面， 平面； （2）由（1）知平面， 同理可得，平面， ，分别是，的中点， ，平面， 又平面，. 知识点02：直线与平面垂直的性质定理 （1）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （2）符合语言：， （3）图形语言： （4）定理应用：垂直与平行的转换 ①线面垂直线线平行 ②作平行线 【即学即练2】（2023上·上海·高二专题练习）如图，平面平面，，，垂足分别为，，直线平面，.求证：. 【答案】证明见解析 【详解】如图： ∵，，∴. 同理. ∵，，平面，∴平面. 又∵，，∴. ∵，，，平面， ∴平面. ∴. 知识点03：点面距、线面距、面面距 （1）点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. ①图形语言： 如图，线段的长度就是点到平面的距离. ②点面距的范围：. ③常用方法：等体积法 【即学即练3】（2024上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）已知正方体的棱长为为线段上的动点，则点到平面距离的最小值为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】由题意得， 设点到平面的距离为，则由等体积转化法为， 当与重合时，最大，最大为， 此时最小，为. 故选：B. （2）直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. ①图形语言： 线段的长度就是直线到平面的距离. ②当直线与平面相交或时，直线到平面的距离为0. （3）平面到平面的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. ①图形语言： 线段的长度就是平面到平面的距离 (2)当平与平相交时，平面到平面的距离是0. 题型01 直线与平面垂直的定义转化为性质 【典例1】（2024下·高一课时练习）如图，在三棱锥P－ABC中，底面ABC，，D，E分别是AB，PB的中点． (1)求证：平面PAC； (2)求证： 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）∵点D、E分别是棱AB、PB的中点， ∴， 又∵平面，平面； ∴平面． （2）∵底面，底面， ∴， ∵，，平面， ∴平面， 又∵平面， ∴． 【典例2】（2024·广东·高三学业考试）在三棱柱中，，，点是的中点. （1）求证：平面； （2）若侧面为菱形，求证：. 【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析 【详解】（1）证明：连接，交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以为，的中点， 因为点是的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； ... ...