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课件网) 二项式定理，又称牛顿二 项式定理，由艾萨克·牛顿 于1664、1665年间提出. (0.99)365 =(1—0.01)365 ≈ 0.03 二项式定理研究的是 (a +b)n 的展开式. 请写出完全平方公式的展开过程 (a b)2 a2 2ab b2 Fa bf2 Fa bfFa bf aFa bf bFa bf aa ab ba bb a2 2ab b2 共有 C × C = 4 项 2 1 2 1 合并同类项共3项 系数 C C C C (a b)2 C a2 C ab C b2 2 2 2 1 2 0 2 2 2 1 2 0 2 k Fa bfFa bf aFa bf bFa bf aa ab ba bb a2 2ab b2 a2－kb k k 0,1,2 完全平方公式 Fa bf2 (a b)3 Fa bfFa bfFa bf 项 a3 a2b ab2 b3 系数 C C C C 展开式： 3 3 3 2 3 1 3 0 探究1 推导 (a b)3 的展开式. a3－kb k k 0,1,2,3 C 3 k (a b)3 C a3 C a2b C ab2 C b3 3 3 3 2 3 1 3 0 探究2 仿照猜想(a b)n 的展开式. (a + b)n = (a + b)(a + b)…(a + b) ———、———一 n个(a b)相乘 项an－kb k { 选a 系数 C an , an—1b, an—2b2，... an—kbk，...bn 二项式定理 展开式：(a + b)n = C an +C an—1b1 + ...+C an—kbk + ...+C bn (n∈ N* ) n n n 1 n 0 ) ( 中 b (a b k个 a+ － 个 n (a + b)n = C an +C an-1b1 + ...+ C an-kbk + ...+C bn ①项数： 共有n＋1项 ②次数：各项的次数和都等于n 字母a按降幂排列，次数由n递减到0 , 字母b按升幂排列，次数由0递增到n . ③二项式系数: C (k = 0,1, … , n) n k n n n 1 n 0 展开式的第4项 T4千 T3 1 = C a n - 3b 3 n 3 ④二项展开式的通项: Tk +1 = C an-kb k (k = 0, 1, 2...n) 二项式定理 杨辉 南宋时期杰出的 数学家和数学教育家 (n∈ N* ) , 二项式定理 = C an -C an-1b + …+ (-1)kC an-kbk + …+ (-1)n C bn n n n 1 n 0 例：求 的展开式. 二项式定理应用 二项式定理应用 例：求(2 · ix 一 )6 的展开式. 写出展开式第3项。 T 3= T 2+1= = 240x 展开式第3项的二项式系数多少？ C = 15 展开式第3项的系数多少？ C .24 .(一1) = 240 展开式中x2 的系数多少 k 26一kC x3一k 若求展开式中的常数项呢？ 3 一 k = 2, k = 1 :(一1)1 × 25 × C = 一192 6 1 2 6 2 6 2 2 二项式定理：(n∈ N* ) (a + b)n = C an +C an-1b1 + ...+C an-kbk + ...+C bn (1)二项式系数： C (k = 0,1, … , n) (2)二项展开式的通项： Tk +1 = C an-kb k (k = 0, 1, 2...n) n k n n n 1 n 0 我们的收获和感悟 2. (1) 求(1 + 2x)7 的展开式的第4项的系数；若求第4项的二次项系数呢？ (2) 求 的展开式中x2 的系数. 若求含x2的项呢？ 1 . 求 (x + 1 )6 的展开式 . x 1. 求 (x + 1 )6 的展开式 . x 解：根据二项式定理，可得 (x + 1 )6 = (x + x-1)6 x = C0 x6 + C1x5 x-1 + C2 x4 x-2 + C3 x3 x-3 + C4 x2 x-4 + C5 xx-5 + C6 x-6 = x6 + 6x4 + 15x2 + 20 + 15x-2 + 6x-4 + x-6 . 6 6 6 6 6 6 6 2. (1) 求(1 + 2x)7 的展开式的第4项的系数； (2) 求(2 的展开式中x2 的系数. 解：(1) 由通项公式，可得 T4 = T3+1 = C (2x)3 = 280x3 . ∴ (1 + 2x)7 的展开式的第4 项的系数是280. (2) 由通项公式，可得 设3 — k = 2,解得k = 1. ∴ x2 的系数是(—1) × 25 × C = —192. 6 1 7 3 你能用二项式定理解决开篇困惑吗？ (a + b)n = C an +C an—1b1 + ...+C an—kbk + ...+C bn (1.01)365 = (1+0.01)365 ≈ 37.8 (0.99)365 = (1—0.01)365 ≈ 0.03 n n n 1 n 0 我们的收获 P25-27 课外资料相应练习 二项式定理（ 2） ... ...
