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课件网) 7.4.2 超几何分布 问题： 已知100件产品中有8件次品,分别采用有放回和不放回的方式随机抽 取4件.设抽取的4件产品中次品数为X,求随机变量X的分布列. 如果采用有放回抽样,则每次抽到次品的概率为0.08 X~B(4,0.08). 如果采用无放回抽样,那么抽到4件产品中次品数X是否服从二项分布 X不服从二项分布 X可能的取值为0,1,2,3,4, X的分布列为 k = 0,1,2,3,4. X 0 1 2 3 4 P C C 2 C 0 C C 2 C 0 C C 2 C 0 C C 2 C 0 C C 2 C 0 10 4 9 0 8 4 10 4 9 1 8 3 10 4 9 2 8 2 10 4 9 3 8 1 10 4 9 4 8 0 超几何分布 一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机 抽取n件(不放回) ，用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为 P(X = k) = , k = m, m +1, m + 2, … , r. 其中n, N, M ∈ N* , M ≤ N, n ≤ N, m = max{0, n — N + M}, r = min {n, M }. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X 服从超几何分布. N—总体中的个体总数 M—总体中的特殊个体总数(如次品总数) n—样本容量 k—样本中的特殊个体数(如次品数) 例1.从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率. X服从超几何分布,且N=50,M=1,n=5, 因此甲被选中的概率为 例2.一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测， 求至少有1件不合格的概率. 解 设抽取的10个零件中不合格品数为X 则X服从超几何分布 ( 13) , ( n) ( , ) ) k = 0, ,2,3. 另解: P(X ≥ 1) = 1- P ≈ 0.7192. 3 为 2 的 X 0 1 , P M X N P 且 超几何分布的随机变量的均值与方差 得 因为 , 所以 E 例题3.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背 出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇，试求： （1） 抽到他能背诵的课文的数量的分布列及均值； （2） 他能及格的概率. 100 例4.一袋中有100个大小相同的小球,其中有40个黄球，60个白球，从中随机摸出20个球 作为样本.用X表示样本中黄球的个数. (1)分别就有放回和不放回摸球，求X的分布列; (2)分别就有放回和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差 不超过0.1的概率. 解 (1)对于有放回摸球,由题意知x~B(20,0.4),的分布列为 P1k = P(X = k) = C2k00.4k × 0.620-k ,k = 0,1,2, …,20. 对于不放回摸球,由题意知x 服从超几何分布，X的分布列为 (2)样本中黄球的比例f20 = 是一个随机变量,根据下表计算得 有放回摸球 : P( f20 - 0.4 ≤ 0. 1) = P(6 ≤ X ≤ 10) ≈ 0.7469. 不放回摸球 : P( f20 - 0.4 ≤ 0. 1) = P(6 ≤ X ≤ 10) ≈ 0.7988. 采用不放回摸球估算的结果 更可靠些. 但从两种分布的概率分布图看,超几何分布更集中在均值附近. 当n远远小于N时，每次抽取一次,对N的影响很小. 此时，超几何分布可以用二项分布近似. 两种摸球方式下,随机变量X服从二项分布和超几何分布. 这两种分布的均值相等都等于8. 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0 A服从二项分布 B服从超几何分布 C服从二项分布 D不服从超几何分布 课堂练习 E(X) = np = 课堂练习 :ξ的分布列为 由题ξ = 0，1，2 课堂练习 课堂练习 4. 5. 一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽 取2罐，求这2罐中有奖券的概率. 解：设抽出的2罐中有奖券的罐数为X，则X服从超几何分布 ，从而抽取2罐 中有奖券的概率为 P(X ≥ 1) = P(X = 1)+ P(X = 2) 课本80页 探索与发现 设随机变量X ~ B(n, p) 二项分布的性质 则X的分布列为P(X = k) = C pk (1-p)n-k , k = 0 , 1 , … , n 对不同的n 和p 的值，绘制的概率分布图如图所示 记pk = P(X = k), 观察图形我们发现： 当k 由0 增大到n 时，pk 先增后减， 在某一个（或两个）k 值处达到最大． ... ...
