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课件网) 7.5正态分布 高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举．德国的10马克纸币上印有 高斯的头像和正态分布的曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文 明影响最大的是正态分布．那么,什么是正态分布？正态分布的曲线有什么特征？ 如图所示是一块高尔顿板示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱 形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.让一个个小球从高 尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方 的某一球槽内，只有球的数目相当大，它们在底板将组成近似中间高两头低，成左右对称 的图形. 正态分布 离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可 能大于0 ，离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，前面我们研究 的分布列（如二项分布、超几何分布等）都是离散型随机变量的分布列。 正态分布在统计学中是很重要的分布，它是一个连续型随机变量的分布， 它等于任何一个实数的概率都为0 ，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的 概率，它的概率分布规律用密度函数（曲线）描述. -2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2 0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.6 -1.9 1.7 2.6 0.4 2.6 -2.0 -0.2 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1 2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.3 -1.8 0.0 2.5 3.5 -4.2 -1.0 -0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 -0.6 -4.4 -1.1 3.9 -1.0 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7 -0.5 -0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6 2.2 0.3 4.8 -0.8 -3.5 -2.7 3.8 1.4 -3.5 -0.9 -2.2 -0.7 -1.3 1.5 -1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7 -0.9 问题:自动流水线包装的食盐,每袋标准质量为400g. 由于各种不可控的因素,任 意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多 或少会存在一定的误差(实际 质量减去标准质量). 用X表示这种误差,则X是一个连续型随机变量. 检测人员 在一次产品检验中, 随机抽取了100袋食盐,获得误差X (单位:g)的观测值如下: -0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.1 4.4 0.9 可用频率分布直方 图描述这组误差数 据的分布,如右图所 示.频率分布直方图 中每个小矩形的面 积表示误差落在相 应区间内的频率,所 有小矩形的面积之 和为1. 误差观测值有正有负,并大致对称地分布在X=0的两侧, 而且小误差比大误差出现得更频繁. 随着样本数据量越来越大,让 分组越来越多,组距越来越小, 由频 率的稳定性可知,规率分布直方图 的轮廓就越来越稳定,接近一条光 滑的钟形曲线,如右图所示。 根据频率与概率的关系，可用以用 上图中的钟型曲线来描述袋装食盐质量 误差的概率分布，曲线与水平轴之间的 面积为1. 任意抽取一袋盐，误差落在[-2,-1]内的概率如何表示 可以用图中黄色阴影部分的面积表示. 对任意的x ∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区 域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称 正态曲线,如上图所示.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机 变量X服从正态分布(normal dis-tribution),记为X~N(u, σ2 ). 正态分布的定义 若随机变量X的概率分布密度函数为 f(x) = σ· 2π e 2σ , x ∈R, 其中μ ∈R，σ > 0为参数. 1 一 (x一 )2 2 μ 若X~N(u,σ2),则如上图所示,X取值不超过x 的概率P(X)为图中区 域A的面积,而P(a≤X
