云南省大理州宾川四中2024-2025学年高三年级上期数学开学测试题（含解析）

云南省大理州宾川四中2024-2025学年高三年级上期 数学 开学测试题 （考试总分：150 分 考试时长： 120 分钟） 一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分） 1.已知集合,则( ) A. B. C. D. 2.若,则的虚部为( ) A.-3 B.3 C.3i D.-3i 3.已知向量,若,则( ) A.-2 B.0 C.1 D.2 4.如图,在正四棱台中,分别为棱的中点,则( ) A.直线与直线是异面直线 B.直线与直线是异面直线 C.直线与直线共面 D.直线与直线共面 5.在的展开式中,含项的系数是,则( ) A.-1 B.0 C. D.-2 6.""是""的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知为抛物线上任意一点,为抛物线的焦点,为圆上任意一点,则的最小值为( ) A.6 B.10 C.4 D.8 8.已知函数在与上的值域均为,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、 多选题 （本题共计3小题，总分18分） 9.已知函数,则( ) A.为偶函数 B. C.无零点 D.在上单调递减 10.晓余每天9:00上班,17:30下班.若晓余从家到公司所需时间(单位:分钟)服从正态分布,从公司到家所需时间(单位:分钟)服从正态分布,则下列结论正确的是(参考数据:若随机变量服从正态分布,则) A.若晓余8:36从家出发去公司,则晓余迟到的概率大于0.02 B.若晓余8:42从家出发去公司,则晓余不迟到的概率小于0.2 C.若晓余17:40从公司出发回家,则晓余18:00后到家的概率小于0.97 D.若晓余17:30从公司出发回家,则晓余18:00前到家的概率大于0.8 11.如图，球被一个距离球心的平面截成了两个部分，这两个部分都叫作球缺，截面叫作球缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直径被截后所得的线段叫作球缺的高.球冠的面积公式为,球缺的体积公式为。其中为球的半径,为球缺的高,记两个球缺的球冠面积分别为,两个球缺的体积分别为,则下列结论正确的是( ) A.若,则两个球缺的底面面积均为 B.若,则 C.若,则 D.若,则 三、 填空题 （本题共计3小题，总分15分） 12.曲线在点处的切线方程为_____. 13.记为等差数列的前项和,若,则_____ 14.如图,已知分别是双曲线的左、右焦点,分别为双曲线的左支、右支上异于顶点的点,且.若,则双曲线的离心率为_____ 四、 解答题 （本题共计5小题，总分77分） 15.（13分）某品牌汽车4S店搞活动，消费者对"圈圈套西瓜"活动的参与度较高.该活动的游戏规则如下：参加活动的每位消费者可领3个圈圈且均需用完，1个图圈只能套一次西瓜，每次套中西瓜与否相互独立，套中的西瓜可被消费者带走。已知甲每次套中西瓜的概率为，乙每次套中西瓜的概率为. (1)求甲恰好套中1个西瓜的概率; (2)若甲、乙均套完第一次，记此时甲、乙两人套中西瓜的个数之和为，求随机变量的分布列与期望. 16.（15分）记的内角的对边分别为.已知. (1)求; (2)若,在边上存在一点,使得,求的长 17.（15分）如图，在多面体中,底面是边长为2的正方形,为底面的中心,为的中点,侧面与是全等的等腰梯形,且. (1)证明:平面 (2)若直线与平面所成角的余弦值为,求二面角的余弦值. 18.（17分）已知椭圆过点,焦距为,斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点,且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程. (2)记直线的斜率为,直线的斜率为,证明:为定值. (3)若为椭圆的上顶点,求的面积. 19.（17分）已知对任意正整数,均有,我们称为次切比雪夫函数. (1)若为3次切比雪夫函数,求的值. (2)已知为次切比雪夫函数,若数列满足. 证明：①数列中的每一项均为的零点； ②当时,. 答案 一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分） 1.【答案】C 【解析】因为,所以. 2.【答案】B 【解析】因为,所以的虚部为3. 3.【答案】D 【解析】由题意得. 因为,所以, 则,解得. 4.【答案】C 【解析】延长.由正四棱台的性质可得侧棱,的延长线交于同一点, 设该交点为.延长,易得的延长线必过点,则直线与直线相交于点,与 ... ...