2024-2025学年高二数学湘教版选择性必修一单元检测：第1章 数列（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2024-2025学年高二数学湘教版选择性必修一单元检测：第1章 数列 一、选择题 1．设等比数列的各项均为正数，前n项和为，若，，则( ) A. B. C.15 D.40 2．记为等比数列的前n项和，若，，则( ) A.120 B.85 C. D. 3．用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将变形为( ) A. B. C. D. 4．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成( ) A.假设当时成立，再推出当时成立 B.假设当时成立，再推出当时成立 C.假设当时成立，再推出当时成立 D.假设当时成立，再推出当时成立 5．用数学归纳法证明“”时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为( ) A. B. C. D. 6．已知数列满足，，则的通项公式为( ) A. B. C. D. 7．设等比数列的前n项和为，若，，则( ) A.24 B.12 C.24或 D.或12 8．已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为( ) A.5 B.7 C.9 D.11 二、多项选择题 9．记为公差d不为0的等差数列的前n项和，则( ) A.，，成等差数列 B.，，成等差数列 C. D. 10．已知正项数列的前n项和为，且，则( ) A.是递减数列 B.是等差数列 C. D. 11．甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，下列说法正确的是( ) A. B. C.数列是等比数列 D.的数学期望 三、填空题 12．已知等差数列的首项,公差为,前n项和为.若恒成立,则公差d的取值范围是_____. 13．用数学归纳法证明“（，）”时，由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数为_____. 14．用数学归纳法证明不等式时，初始值应等于_____. 四、解答题 15．已知数列满足，前n项和. （1）求，，的值； （2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明. 16．记数列的前n项和为，对任意，有. （1）证明：是等差数列； （2）若当且仅当时，取得最大值，求的取值范围. 17．将正整数进行如下分组：，，，，，……分别计算各组包含的正整数的和如下： ， ， ， ， ， ， …… （1）求的值； （2）由，，，的值，试猜测的结果，并用数学归纳法证明. 18．在等比数列中，公比，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，当取得最大值时，求n的值. 19．7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大（只有1天）后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件. （1）求7月几日该款服装销售最多，最多售出几件； （2）按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行.求该款服装在社会上流行几天. 参考答案 1．答案：C 解析：方法一：若该数列的公比，代入中，有，不成立，所以.由，化简得，所以（舍去）或.又此数列各项均为正数，所以，所以. 方法二：由已知得，整理得，因为此数列各项均为正数，所以，所以. 2．答案：C 解析：方法一：设等比数列的公比为q，由题意知，则整理得所以. 方法二：由等比数列的前n项和的性质知，，，，…为等比数列，所以，解得或.当时，由，解得；当时，结合得化简可得，不成立，舍去.所以，故选C. 3．答案：A 解析：假设时命题成立，即被3整除.当时，. 4．答案：B 解析：第二步假设当时成立，再推出当时成立. 5．答案：D 解析：当时，不等式左边等于，，当时，不等式左边等于，当时，不等式的左边比时增加. 6．答案：C 解析：因为，，所以，所以，满足上式，故选C. 7．答案：A 解析：因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列.因为，，所以，解得或，因 ... ...