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课件网) 3.2.1 双曲线及其标准方程 第三章 3.2 内容索引 01 02 03 自主预习 新知导学 合作探究 释疑解惑 随堂练习 课标定位素养阐释 1.了解双曲线的定义. 2.了解双曲线的几何图形和标准方程. 3.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程. 4.提升数学抽象、直观想象、逻辑推理与数学运算素养. 自主预习 新知导学 一、双曲线的定义 1.取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2处,把笔尖放于点M处,拉开闭拢的拉链,笔尖经过的点可画出一条曲线,思考曲线满足什么条件 提示:如题图,曲线上的点满足条件:|MF1|-|MF2|=常数(小于|F1F2|);如果改变一下位置,使|MF2|-|MF1|=常数(小于|F1F2|),可得到另一条曲线. 2.双曲线的定义 3.若动点P(x,y)到点A(-3,0),B(3,0)的距离之差为4,则点P的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.一条直线 D.一条射线 解析:由题意知,|PA|-|PB|=4<|AB|,故点P的轨迹是双曲线的一支. 答案:B 二、双曲线的标准方程 1.能否用推导椭圆标准方程的方法推出双曲线的方程 怎样推导 提示:能. (1)建系:以经过两焦点F1和F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(图略). (2)设点:设M(x,y)是双曲线上任意一点,双曲线的焦距为2c(c>0),那么双曲线的焦点F1,F2的坐标分别是(-c,0),(c,0). (3)列式:由|MF1|-|MF2|=±2a(0
0,b>0).双曲线的标准方程中,x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴:当x2的系数为正时,焦点在x轴上;当y2的系数为正时,焦点在y轴上,而与分母的大小无关. 3.双曲线的标准方程 答案:D 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)在双曲线的标准方程中,a,b,c之间的关系与椭圆中a,b,c之间的关系相同.( × ) (2)已知点A(1,0),B(-1,0),若|AC|-|BC|=2,则点C的轨迹是双曲线.( × ) (5)关于x,y的方程mx2+ny2=1(mn<0)表示的曲线为双曲线. ( √ ) 合作探究 释疑解惑 探究一 求双曲线的标准方程 分析:先设出双曲线的标准方程,构造关于a,b的方程组,求得a,b,从而求得双曲线的标准方程.注意对平方关系c2=a2+b2的运用. 反思感悟 1.求双曲线标准方程的步骤 (1)确定双曲线的类型,并设出标准方程. (2)求出a2,b2的值. 2.当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时,需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论.特别地,当已知双曲线经过两个点时,可设双曲线方程为Ax2+By2=1(AB<0)来求解. 【变式训练1】 (1)已知双曲线过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方程; 解:(1)设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0). ∵双曲线过点M(1,1),N(-2,5), 探究二 双曲线的定义及其应用 (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离; (2)若点P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积S. 分析:(1)直接利用定义求解. (2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|. 解:(1)设|MF1|=16,根据双曲线的定义知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6. 解得|MF2|=10或|MF2|=22.即点M到另一个焦点的距离为10或22. 由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6, |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°, ∴102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|, ∴|PF1|·|PF2|=64, 反思感悟 求双曲线中的焦点三角形(△PF1F2)面积的方法 (1)①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a;②利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式;③通过配方、整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值;④利用公式S= ×|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2求得面积. (2)利用公式S= ... ... 