5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 7 题型分类 一、正弦函数、余弦函数的性质 函数名称 y＝sinx y＝cosx 函数性质 相 定义域 R R 同 值域 [－1,1] [－1,1] 处 周期性 最小正周期 2π 最小正周期 2π 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 不 同 在[ π π2kπ－ ，2kπ＋ ](k∈Z)上单2 2 处 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递 调递增； 单调性 增；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单 [ π 3π在 2kπ＋ ，2kπ＋ ](k∈Z)上单 调递减2 2 调递减 π x＝2kπ＋ (k∈Z)时，ymax＝1； 2 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 最值 π x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ－ (k∈Z)时，ymin＝－1 2 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)； π 对称中心： kπ＋ ，0 (k∈Z)； 对称性 π ( 2 ) 对称轴：x＝kπ＋ (k∈Z) 2 对称轴：x＝kπ(k∈Z) 二、解读正弦、余弦函数的单调性 (1)正弦、余弦函数在定义域 R 上均不是单调函数，但存在单调区间． (2)求解(或判断)正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步． (3)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法 来判断． 三、解读正弦函数、余弦函数的最值与对称性 (1)明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1. (2)对有些函数，其最值不一定是 1 或－1，要依赖函数的定义域来定． (3)形如 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令 ωx＋φ＝z，将函 数转化为 y＝Asinz 的形式求最值． (4)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦 值(余弦值)取最大值或最小值． (5)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与 x 轴的交点，即此时的正弦值 (余弦值)为 0. （一） 正弦函数、余弦函数的单调区间 1、求正弦函数、余弦函数单调区间的技巧 求形如 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间时，若 ω 为负数，则要先把 ω 化 为正数． 当 A>0 时，把 ωx＋φ 整体放入 y＝sinx 或 y＝cosx 的单调递增区间内，求得的 x 的范围即函数 的单调递增区间；整体放入 y＝sinx 或 y＝cosx 的单调递减区间内，可求得函数的单调递减区 间． 当 A<0 时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间． 最后，需将最终结果写成区间形式． 2、求 y=Asin(ωx＋φ)和 y= Acos(ωx＋φ)的单调区间，可以把 ωx＋φ 看作一个整体(保证 ω>0)放 入 y=sinx 和 y=cosx 的单调区间内，解不等式求得.尤其注意保证 x 的系数为正，否则应按“同增 异减”的复合函数单调性求解. 题型 1：正弦函数、余弦函数的单调区间 π 1-1．（2024·河南·模拟预测）已知函数 f x = 2cos -3x x é π , π - ù÷， ê ú ，则 f x 的单调递增区间是（4 2 2 ）è é π ù é π π ù A． ê- ,0 B． - , 2 ú ê 4 12ú é π , π π 5π π π 5π π- - ù é , ù é- , ù é , ùC． ê ， D 2 4 ú ê12 12 ú ． ， ê 4 12 ú ê12 2 ú 1-2．（2024 高一·全国·课堂例题）求函数 y = cos π - 2x ÷的单调递增区间． è 4 p 1-3 ．（2024 高一下·内蒙古·阶段练习）函数 y = 2sin 2x + ÷ , x [-p ,0]单调减区间为 è 6 题型 2：根据正弦函数、余弦函数的单调性求参数 π 2-1．（2024 高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数 f (x) = sin(wx + )，对于"x R ， f x f π ，且 f x 在 3 é π ù 区 ê0， ú上单调递增，则w 的最大值是（18 ） 11 1 13 19 A．- B． C． D． 6 6 6 6 π 2-2．（2024 高二上·云南大理·阶段练习）已知函数 f x = sin wx + ÷在 x = π 时有最大值，且 f x 在区间 è 3 é0, π ùê ú 上单调递增，则w 的最大值是（18 ） 11 1 13 19 A．- B． C． D． 6 6 6 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
