山东省青岛市2025届高三上学期期初调研检测数学试题(含答案）

山东省青岛市2025届高三上学期期初调研检测数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则 A. B. C. D. 2.已知复数满足，则的虚部为 A. B. C. D. 3.已知命题：，，则为 A. ， B. ， C. ， D. ， 4.等差数列的首项为，公差不为，若，，成等比数列，则的前项和为 A. B. C. D. 5.在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，它们的终边关于轴对称．若，则 A. B. C. D. 6.两个粒子，从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，粒子相对粒子的位移为，则在上的投影向量为 A. B. C. D. 7.设若是的最小值，则的取值范围为 A. B. C. D. 8.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆和的渐近线在第一象限交于点，直线交的另一条渐近线于点，，则的离心率为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.一组数据，，，是公差为的等差数列，去掉首末两项，后得到一组新数据，则 A. 两组数据的极差相同 B. 两组数据的中位数相同 C. 两组数据的平均数相同 D. 两组数据的标准差相同 10.平面过正方体的顶点，平面 平面，平面平面，平面平面，则 A. B. 平面 C. 平面 D. ，所成的角为 11.设数列和的项数均为，称为数列和的距离．记满足的所有数列构成的集合为已知数列和为中的两个元素，项数均为，下列正确的有 A. 数列，，，和数列，，，的距离为 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，数列和的距离小于，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若曲线 在点处的切线斜率为，则_____． 13.若，是函数 的两个相邻极值点，则_____． 14.正方体的棱长为，是侧面包括边界上一动点，是棱上一点，若，且的面积是面积的倍，则三棱锥体积的最大值是_____． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响． 求在一次猜谜活动中，有一方获胜的概率； 若有一方获胜则猜谜活动结束，否则猜谜继续，猜谜最多进行次，求猜谜次数的分布列和期望． 16.本小题分 已知的内角，，的对边分别为，，，． 求； 若边上的高等于，求． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，，底面，是线段的中点，在线段上，． 证明：平面； 在线段上，与所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值． 18.本小题分 已知双曲线：，点在上．按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的左支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为， 求点，的坐标； 记，证明：数列为等比数列； 为坐标原点，，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值． 19.本小题分 已知函数定义域为，，若，，当时，都有则称为在上的“点”． 设函数． (ⅰ)当时，求在上的最大“点”； (ⅱ)若在上不存在“点”，求的取值范围； 设，且，． 证明：在上的“点”个数不小于 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：设事件表示在一次猜谜活动中有一方获胜， 事件包含两种情况：甲猜对乙猜错或甲猜错乙猜对， 则， 所以在一次活动中，有一方获胜的概率为； 由题意知，猜谜次数可能取值为，，， ， ， ， 所以的分布列为 期望为． 16.解：因为， 由正弦定理得， 即， 即，则； 作于， 因为， 所以在线段上 所以， 所以，， 所以． 17.证明：因为 底面 ，且 底面 ，所以 ， 又因为 为正方形，可得 ， 因为 ，且 平面 ，所以 平面 ， 又因为 平面 ，所以 ... ...