2024-2025学年黑龙江省哈尔滨九中高三（上）开学 数学试卷（8月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.下列说法正确的是( ) A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若不等式的解集为，则必有 D. 命题“，使得”的否定为“，使得” 3.已知函数满足，求在的导数( ) A. B. C. D. 4.函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为( ) A. B. C. D. 5.已知函数的值域为，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 6.定义在上的奇函数，满足，当时，，若，则( ) A. B. C. D. 7.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.已知函数，若方程的所有实根之和为，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知正数，满足，则下列说法正确的是( ) A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10.已知函数，若存在，，使得成立，则下列结论正确的是( ) A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 11.对于任意实数，，定义运算“”，则满足条件的实数，，的值可能为( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数，则 _____． 13.已知曲线与直线相切，则 _____． 14.已知函数的定义域为，为其导函数，若，，则不等式的解集是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数． 若，求不等式的解集； 若时，的最小值为，求的值． 16.本小题分 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线． 当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数且图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于时听课效果最佳． 试求的函数关系式； 老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由． 17.本小题分 已知函数，其中实数． Ⅰ求在处的切线方程； Ⅱ若在上的最大值是，求的取值范围； Ⅲ当时，证明：． 18.本小题分 已知是定义在区间上的奇函数，且，若、，时，有． 证明函数在上单调递增； 解不等式； 若对所有，，恒成立，求实数的取值范围． 19.本小题分 已知函数，其中． 令，讨论的单调性； 若对任意两个不相等的正实数，，均有，求实数的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：当时，不等式即为， 所以， 则有，则， 故不等式的解集为； 令，，则， 开口向上，对称轴方程为， 当，即时，，则，不符合题意； 当，即时，，则； 当，即时，，则，不满足条件． 综上所述，的值为． 16.解：当时，曲线是二次函数图象的一部分，顶点坐标为，图象过，设，带入求解，可得， 当时，曲线是函数且图象的一部分，图象过，代入求解可得： 则． 则 由题意，指数大于时听课效果最佳， 当时，， 解得． 当时，， 解得分 综上：可得． 老师在 这一时间段内安排核心内容，学生听课效果最佳． 17.解：Ⅰ， 因为，，所以在处的切线方程为． Ⅱ． 当时，在恒成立，所以在单调递增， 所以在的最小值为，不符合题意舍． (ⅱ)当时，令，解得；令，解得， 所以在单调递增，在单调递减． 又，所以存在，使得，不符合题意舍． 当时，在恒成立， 所以在单调递减，则在的最大值为，符合题意． 综上所述，实数的取值范围为． Ⅲ证明：当时，要证， 需证， 在单调递增，又，， 所以，存在，使得，即， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在的最小值为， 由，得， 所以， 故当时，得 ... ...
