3.2.1双曲线及其标准方程7题型分类 （讲+练）（含答案） 2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

3.2.1 双曲线及其标准方程 7 题型分类 一、双曲线的定义 1．定义：平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． 2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 3．焦点：两个定点 F1，F2. 4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. 二、双曲线标准方程 焦点位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 x2 y2 y2 x2 标准方程 － ＝1(a>0，b>0) － ＝1(a>0，b>0) a2 b2 a2 b2 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 （一） 双曲线定义的应用 1、双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨 迹． （2）定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 2、双曲线定义的应用 (1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一 焦点的距离． (2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公 式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用． 题型 1：双曲线的定义及应用 1-1．（2024 高二下·四川德阳·阶段练习）已知点M - 5,0 ，N 5,0 ，动点 P 满足条件 PM - PN = 4．则 动点 P 的轨迹方程为（ ） 2 2 A x． - y2 =1(x 2) B x． - y2 =（1 x - 2） 2 2 2 2 C x． - y2 =1(x 2) D x． - y2 =1(x -2) 4 4 2 2 1-2 x y．（2024 高三上·辽宁锦州·期末）双曲线C ： 2 - =1的左右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为a 12 3x + y = 0，若点M 在双曲线C 上，且 MF1 = 5，则 MF2 =（ ） A．7 B．9 C．1 或 9 D．3 或 7 1-3．（2024 高二上·山东青岛· P x, y x - 3 2 + y2 - x + 3 2期末）若动点 满足关系式 + y2 = 4，则点 P 的 轨迹是（ ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支 2 2 1-4．（2024 · x y高二下 安徽滁州·开学考试）若双曲线E : - =1 的左、右焦点分别为F1，F2 ，点 P 在双曲线9 16 E 上，且 PF1 = 5 ，则 PF2 =（ ） A．11 B．8 C．1或11 D． 2或8 （二） 求双曲线的标准方程 1、待定系数法求双曲线标准方程的方法： 2、求双曲线的标准方程 (1)用待定系数法求双曲线的标准方程：若焦点位置不确定，可按焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况 讨论求解． x2 y2 (2)当 mn<0 时，方程 ＋ ＝1 表示双曲线． m n 题型 2：求双曲线的标准方程 2 2 2-1．（2024 高二下· x y 河南洛阳·阶段练习）已知双曲线 C : 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左、右焦点分别为 F1, F2 ，a b F1F2 = 4 5 ，点 P 在双曲线的右支上，若 PF1 - PF2 = b， 则双曲线 C 的方程为（ ） y2 x2 y2A． x2 - =1 B． - = 1 4 16 4 x2 y2 2 2C． - =1 D x y． - =1 16 64 4 16 2-2．（2024 高二上·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： x2 y2(1)以椭圆 + =1短轴的两个端点为焦点，且过点 A(4,-5)； 16 9 (2)经过点P(-3,2 7)和Q(-6 2, -7) ． 2-3．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）2023 年 3 月 27 日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被 网友称为“村 BA”.从某个角度观察篮球（如图 1），可以得到一个对称的平面图形，如图 2 所示，篮球的外轮 形状为圆 O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆 O 的交点将圆 O 的周长八等分， AB = BC = CD = 2，视 AD 所在直线为 x 轴，则双曲线的方程为（ ） 2 A x2 7y 1 B 2x2 - y2 =1 C x2 9y 2 3y2 ． - = ． ． - =1 D． x2 - =1 9 7 4 2-4．（2024 高二上·全国·课后作业）已知双曲线过点 -2,0 ，且与椭圆 4x2 + 9y2 = 36有公共焦点，则双曲线 的标准方程是（ ） 2 2 A y． - x2 x=1 B． - y2 =1 4 4 2 2 C． x2 y- =1 ... ...