第2课时 单调性与最值 [学习目标] 1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化的规律.(重点)2.能够利用函数的单调性解决比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题(难点). 导语 同学们,前面我们研究了正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性,根据我们之前学习指数函数和对数函数的经验,三角函数还有哪些性质有待我们去研究呢 请同学们继续观察正弦曲线和余弦曲线,它们的定义域、值域、单调性有什么样的规律呢 这就是我们本节课要研究的问题. 一、正弦函数、余弦函数的单调性与最值 问题 你能作出正弦函数y=sin x,x∈的函数图象吗 观察图象,研究函数y=sin x,x∈的单调性与最值. 提示 如图, 由图可知,区间正好是函数的一个周期,其中函数在区间上单调递增,在区间上单调递减.当x=时,ymax=1,当x=-或时,ymin=-1. 知识梳理 正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z) 正弦函数 余弦函数 图象 值域 [-1,1] [-1,1] 单调性 在,上单调递增,在上单调递减 在[-π+2kπ,2kπ]上单调递增,在[2kπ,π+2kπ]上单调递减 最值 当x=+2kπ时,ymax=1; 当x=-+2kπ时,ymin=-1 当x=2kπ时,ymax=1; 当x=π+2kπ时,ymin=-1 注意点: (1)正、余弦函数都不是单调函数,但它们都有无数个单调区间. (2)利用单调性,可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小. 二、利用单调性比较大小 例1 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小: (1)cos ,cos ; (2)cos 1,sin 1; (3)sin 164°与cos 110°. 解 (1)cos =cos ,cos =cos , 因为0<<<π,又y=cos x在[0,π]上单调递减, 所以cos >cos ,即cos >cos . (2)因为cos 1=sin,又0<-1<1<,且y=sin x在上单调递增, 所以sincos β 答案 B 解析 因为α,β是锐角三角形的两个内角,故有α+β>,所以0<-β<α<, 所以cos α
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