(
课件网) 曲线与方程 椭圆 双曲线 抛物线 第4章 椭圆、双曲线、抛物线 4 .4 抛物线 1. 掌握抛物线的定义、标准方程及其推导过程. 2. 掌握抛物线的性质. 3. 能熟练地运用坐标法，进一步提高 “应用数学” 的水平. 教学目标 教学重点 抛物线的定义及标准方程的四种形式. 教学难点 抛物线标准方程的不同形式. 教具演示、类比、讨论、讲授、练习 教学方法 一个喷泉 观察喷泉（图4—28），其喷出水滴的运动轨迹是一条条优美的曲线 . 实例考察 仔细观察下面两幅图片所显示的曲线，你还能举出类似的曲线吗？ 一条曲线 取一把直尺、一根绳子和一块三角板. 如图4—29所示，将直尺固定在平板上直线l的位置处，将三角板的一条直角边紧靠着直尺，再将绳子的一端固定在三角板的另一条直角边的一点 处， 取绳长等于点 到直角顶点 的长 （即点 到直线 的距离），并且把绳子的另一端固定在平板上的一点 . 用铅笔尖扣着绳子，使点 到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在平板上描出了一条曲线 . 图4—28 图4—29 4 .4 抛物线 4 .4 抛物线———双物线的定义及其标准方程 喷泉喷出水滴的运动轨迹（曲线）正是我们见过的二次函数的图像，即抛物线. 用“实例考察”中的方法画出的曲线也是抛物线，只不过对称轴是水平直线. 分析画抛物线的作图方法，不难看出，曲线上的任意一点到直尺的距离与到点的距离相等.我们定义： 平面内到一个定点 和一条直线 的距离相等的动点的轨迹称为抛物线，点 称为抛物线的焦点，直线 称为抛物线的准线. 4 .4 抛物线———双物线的定义及其标准方程 如图4—30所示，建立直角坐标系，使轴经过点 且垂直于直线 ，垂足为 ， 并使原点 与线段 的中点重合. 设 ，那么焦点 的坐标，准线 的方程为 . 设是抛物线上的任意一点，作，垂足为, 由抛物线的定义可知 . 图4—30 4 .4 抛物线———双物线的定义及其标准方程 由两点间的距离公式得 展开整理得 这个方程称为抛物线的标准方程，它表示焦点在轴的正半轴上的抛物线（开口向右），它的焦点为，准线方程为 . 在建立抛物线的标准方程时，如果建立的直角坐标系使焦点在不同的坐标轴上，则得到的标准方程也不同，所以抛物线的标准方程还有另外三种形式. 四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程见下表 . 4 .4 抛物线———双物线的定义及其标准方程 4 .4 抛物线———双物线的定义及其标准方程 （1）化原方程为抛物线的标准方程: ，得 ，所以焦点为 ，准线为： . （2），得 ，所以焦点为 ，准线为： . （3），得 ，所以焦点为 ，准线为： . 例题解析 解 例 求下列抛物线焦点的坐标及准线 的方程： （1）； （2）； （3）. 4 .4 抛物线———双物线的定义及其标准方程 知识巩固1 1. 求下列抛物线焦点的坐标及准线 的方程： （1）； （2）； （3）； （4） 2. 抛物线上一点到到焦点的距离是， 则点到准线的距离是_____ ，点点的横坐标是_____ . 4 .4 抛物线———抛物线的性质 分析抛物线的标准方程和图像，可以得到抛物线的一些重要性质： 范围及开口方向 因为，根据标准方程，这条抛物线上的任意点满足不等式 ，即这条抛物线在轴的右侧. 另一方面， 随增大而增大，也就是说抛物线向右上方和右下方无限延伸，即，这条抛物线向右开口. 对称性 因为所以用代替，上述标准方程保持不变. 由此可知这条抛物线关于轴对称，即轴是抛物线的对称轴. 顶点 抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线的顶点. 对于上述标准方程，当时， ，所以它所表示的抛物线的顶点是坐标原点. 4 .4 抛物线———抛物线的性质 实际上，分析抛物线各种形式的标准方程及其图像，都可以得到类似性质，列表如下： 4 . ... ...
