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课件网) 曲线与方程 椭圆 双曲线 抛物线 第4章 椭圆、双曲线、抛物线 4 .2 椭圆（一） 1. 理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念. 2. 熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的 草图并确定椭圆的标准方程. 3. 能由椭圆定义推导椭圆的方程. 教学目标 教学重点 椭圆的定义及其标准方程. 教学难点 椭圆标准方程的推导. 启发、讨论、讲授、练习 教学方法 一杯水 图4—6所示水杯的杯口为圆形，杯中盛有水. 竖直放置时，杯中水面的轮廓为圆形；现将杯口倾斜 （无水溢出），观察杯中水面轮廓形成的曲线. 这一曲线与圆相比具有什么特征？ 实例考察 4 .2 椭圆 观察下面图片中所显示的曲线，你能说出生活中存在的类似的曲线吗？ 一条曲线 取一根没有伸缩性的细绳，把它的两端固定在画图板上的和两点, 且使绳长大于和之间的距离. 用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，笔尖就画出了如图4—7所示的一条曲线. 图4—6 图4—7 椭圆上的任意一点到点和的距离的和为定值. 我们定义： 4 .2 椭圆———椭圆的定义及其标准方程 平面内到两个定点的距离的和等于定长(大于)的动点的轨迹称为椭圆. 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点间的距离称为椭圆的焦距. 4 .2 椭圆———椭圆的定义及其标准方程 如图4—8所示，以过焦点的直线为 轴，线段的垂直平分线为 轴，建立直角坐标系. 设 ( ， )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，那么，焦点的坐标分别是 ，.又设点 与的距离之和等于常数，于是有 应用两点间的距离公式，并把 ， 的坐标代入，得 整理得 图4—8 4 .2 椭圆———椭圆的定义及其标准方程 由椭圆的定义可知，2 2 ，即 0，所以.为 了使方程变得简单整齐，可令，则方程变为 同除以，得 这个方程称为椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在 轴上，焦点是的，其中 如果以经过两个焦点的直线为 轴，线段的垂直平分线为 轴，如图4—9所示，用同样的方法，可得椭圆的方程为 这个方程是一个焦点在 轴上的椭圆的标准方程，焦点为，其中 ， ， 之间仍然满足. 4 .2 椭圆———椭圆的定义及其标准方程 例题解析 例 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1) 两个焦点的坐标是 ，，椭圆上一点到两焦点的距离之和为10； (2) 两个焦点的坐标是 ，，并且椭圆经过点； (3) . 解 （1）因为焦点在轴上，所以可设椭圆的标准方程为 由题设条件得 所以，所求椭圆的标准方程为 . 4 .2 椭圆———椭圆的定义及其标准方程 例题解析 例 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1) 两个焦点的坐标是 ，，椭圆上一点到两焦点的距离之和为10； (2) 两个焦点的坐标是 ，，并且椭圆经过点； (3) . 解 （2）因为焦点在轴上，所以可设椭圆的标准方程为 由椭圆的定义可知，椭圆上的点到两焦点的距离之和为 . 即 . 又因为，得. 所以，所求椭圆的标准方程为 . 4 .2 椭圆———椭圆的定义及其标准方程 例题解析 例 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1) 两个焦点的坐标是 ，，椭圆上一点到两焦点的距离之和为10； (2) 两个焦点的坐标是 ，，并且椭圆经过点； (3) . 解 （3）根据题设条件有 所以，所求椭圆的标准方程为 或为 . 4 .2 椭圆———椭圆的定义及其标准方程 知识巩固1 4 .2 椭圆———椭圆的定义及其标准方程 请准备一张圆形的白纸，在圆中的某一位置（不是圆心）处做一 “ ” 标记. 折叠圆纸片，使圆周上有一点落在打点的地方（图4—10a），换圆周上的另一点重复该过程，如此折叠一周.仔细观察所有的折痕围成的图形形状，可以发现它是一个椭圆（图4—10b）. 请你尝试做一下. 实 践 图4—10 4 .2 椭圆（二） 1. 熟练掌握椭圆的范围、对称性、顶点等简单几何性质. 2. 掌握标准方程中 的几何意义. 3. 理 ... ...
