4.2.3 对数函数的性质与图象 第1课时 对数函数的概念、性质与图象 [学习目标] 1.理解对数函数的概念,会求简单对数函数的定义域.2.能画出具体对数函数的图象,并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质. 导语 同学们,还记得我们是如何研究指数函数的吗 实际上,研究对数函数的思路和研究指数函数的思路是一致的,我们可以用类比的方法来研究对数函数. 一、对数函数的概念 问题1 你能解出指数方程2x=3吗 你能把2y=x化成对数式吗 x,y的范围如何 提示 x=log23;y=log2x;x>0,y∈R. 知识梳理 对数函数的定义 一般地,函数y=logax称为对数函数,其中a是常数,a>0且a≠1. 注意点: (1)系数为1. (2)底数为常数a(a>0且a≠1). (3)变量x为真数. 例1 (1)下列函数中是对数函数的有 ( ) A.y=lox2 B.y=log3(x-1) C.y=log(x+1)x D.y=logπx 答案 D 解析 只有D满足对数函数的定义. (2)已知对数函数的图象过点M(8,3),则f= . 答案 -1 解析 设f(x)=logax(a>0且a≠1), 由图象过点M(8,3),得3=loga8,解得a=2. 所以对数函数的解析式为f(x)=log2x, 所以f=log2=-1. 反思感悟 判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y=logax(a>0,且a≠1)的形式,即必须满足以下条件: (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数. (3)对数的真数仅有自变量x. 跟踪训练1 (1)若函数f(x)=(a2-a+1)·log(a+1)x是对数函数,则实数a= . 答案 1 解析 由a2-a+1=1,解得a=1或a=0, 又a+1>0,且a+1≠1,所以a=1. (2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则f(-8)= . 答案 -3 解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(-8)=-f(8)=-log28=-3. 二、简单对数函数的图象 问题2 请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤,先完成下列表格,再在同一坐标系下画出对数函数y=log2x和y=x的函数图象. x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 … y=log2x … … y=x … … 提示 (1)-2 -1 0 1 2 3 4 5 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 (2)描点、连线. 问题3 为了更好地研究对数函数的性质,我们特别选取了底数a=3,4,,你能在同一坐标系下作出它们的函数图象吗 提示 知识梳理 对数函数的图象 y=logax (a>0且a≠1) 底数 a>1 0
1时图象靠近x轴的底数大,c1,c2对应的a值分别为.然后考虑c3,c4底数的顺序,底数都小于1,当x<1时图象靠近x轴的底数小,c3,c4对应的a值分别为.综合以上分析,可得c1,c2,c3,c4的a值依次为. 方法二 如图,作直线y=1与四条曲线交于四点,由y=logax=1,得x=a(即交点的横坐标等于底数),所以横坐标小的底数小,所以c1,c2,c3,c4对应的a值分别为. (2)函数y=lg(x+1)的大致图象是 ( ) 答案 C 解析 由底数大于1可排除A,B,y=lg(x+1)可看作是y=lg x的图象向左平移1个单位.(或令x=0得y=0,而且函数为增函数) 反思感悟 函数y=logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响(如图) (1)上下比较:在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴,0